H. II. Von den Schwerpunkten der Figuren.
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06, . ., 80 sind aber der Reihe nach gleich und gleichgerichtet mit>161, 8'8, 6"6s. ., 8'8", wenn diese Geraden parallel mit der Geraden
7- gezogen und von der den Punct 0 projicirenden Ebene in A', 8',
0', . ., 8' geschnitten werden. Also ist auch0 --- -j- ^.8'8 -j- --.O'O . -j- (a -j- /Z -j- 7 -st . .) 88'
oder
(« -st jS -st 7 st- . .) 88' -- -e.AA' -6 jS.88' -st 7. 66' -st . . .
Zusatz. Demnach schließt man: Wenn bei 3 nicht in einer Stel-lung enthaltenen Richtungen der Parallelen 88', AA', 88' . ., die voneiner beliebigen Ebene begrenzt werden, die Gleichung
(« -st st -st 7 st- . .) 88' ce.AA' -j- st.88' -s- 7.66' -st . .
stattfindet, ohne daß die Summe « -st st st- 7 -p . . verschwindet, so
ist die Gleichung bei jeder Richtung der Parallelen gültig, und derPunct -8 ist der Schwerpunkt der Puncte «.A, st. 8, 7. 6s . . .
Oder: Wenn MM08 . . ein beliebiges Polygon, 8 ein beliebigerPunct ist, und die Strecken «.8A, st. 88, 7.86', . . der Reihe nachgleich und gleichgerichtet mit den Seiten H/7V, 2V0, 08, . . gezogenwerden, so ist 8 der Schwerpunkt von «.A, st. 8, 7.6 . . .*) Ziehtman nämlich durch die Puncte 8, A, 8, . . parallele Gerade von be-liebiger Richtung, welche zwei parallele Ebenen von beliebiger Stellungin 8 und 8', A" und A', 8" und 8', . . schneiden, so hat man ausden obigen Gründen
0 ^ -r.AA" -st st.88" st- 7.66" st- . . .
Zugleich ist 88" — ^ 8"8' — . ., also identisch
(« -st st -st 7 -st . .) 88' ^ -r.A"A' st.8"8' st- 7.6"6" -st . .,
folglich durch Addition
(« st- st -st 7 st- . .) 88' -- ce.AA' -st st.88' st- 7.66' -st . . .
rr. Das System der Puncte «.A, st. 8, 7.6s . . hat nicht mehrals einen Schwerpunkt 8. Wäre ein anderer Punct 7' Schwerpunktder gegebenen Puncte, so ziehe man durch die Puncte 8, '6, A, 8, (7,..parallele Gerade von beliebiger Richtung, die von einer Ebene, welcheden Punct 8, aber nicht zugleich den Punct 8 enthält, in 8', 7s A',8', 6"', . . geschnitten werden. Dann hätte man (2), weil 7'T'ver-schwindet,
0 ---- a.AA' -st st.88' st- 7. 66"' st- . . .
*)L'Huilier xol^A. p. 86 und Carnot xpom. cts pos. 269 in dem Fall
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