K. 11. Von den Schwerpunkten der Figuren.

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erst den Schwerpunkt 71/ der Puncte bestimmen, welche positive Coeffi-cienten haben, dann den Schwerpunkt 7V der Puncte mit negativen Coef-ficienten, endlich den Schwerpunkt K der Puncte ^,.71/ und — v.TV,nachdem man durch ^ und — v die Summen der positiven und dernegativen Coefficienten bezeichnet hat. Dann ist K der gesuchte Schwer-punkt des gegebenen Systems.

3. Der Schwerpunkt <2 der Puncte «.A, fi.TS und 7 . (7, welchenicht auf einer Geraden liegen, theilt die Fläche des Dreiecks AL(7 nachder Proportion*)

L<7<2 : <7A<2 : : AL<7 ----cr:fi:>,:«-stfi-st 7 .

Ist nämlich <7, der Schwerpunkt von und fi.L, so ist: ^<7 --- (7 ,6 : <7^ (7 --- 7 : « -st -stweil (st «2 : <2(7 -st fi (4). U. s. w.

Der Schwerpunkt 2 ? der Puncte «.A, fi.L, /.<7 und S./>, welchenicht auf einer Ebene liegen, theilt das Volum des Tetraeders AS<7/)nach der Proportion

(7SS/k:^(7SL:/rA0/r:AL(7/r:AL<7/) ----- -r:fi:7:S:«-stfi-st/-stö.Wenn man nämlich durchs den Schwerpunkt von fi.L, /.<7 undbezeichnet, so ist

(7L/)/r:AL(7/>---- (7L/)/k: 6 LOA ---- ^ 7? « -st/S -st ö,

weil .4,L i/kA-^-rifi-st^-stö (4). U. s. w.

Bei diesen Sätzen ist zu beachten, daß -4S(7 — SOA — (7^S,AL<7 -st AM — 0 (Planim. Z. 9 ), ALOO ---L(7A/» ----- . ., ASM-st AS/X7 --- 0 ( 8 - 8 , 15).

Man kann jeden Punct der Geraden AS als Schwerpunkt von«.A undfi.S, jeden Punct der Ebene ASO als Schwerpunkt von «.A,fi.S und >-.<7, jeden Punct des Raumes als Schwerpunkt von -r.A,fi.S, ^-.(7 und dem außer der Ebene ASO liegenden Punct ö.O dar-stellen, indem man den Verhältnissen « : fi, « : fi : « : fi : 7 : ö

die geeigneten Werthe ertheilt (Princip des barhcentrischen Calculs).

8 . Wenn die Summe der Coefficienten <2 -st fi -st ), -st . . ver-schwindet, so hat das System der Puncte «.-4, fi.s, )-.(7, . . im All-gemeinen einen in einer bestimmten Richtung unendlich fernen Schwer-punct, und die Summe

a.AA' -st fi.SS' -st y. 0(7' -st . .

verschwindet bei jeder Richtung der Parallelen AA', SS', . . unter der

*) Möpius Baryc. Calc. 24 fs.

Bacher. II. 2. Aafl.

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