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Fünftes Buch, Stereometrie.
Nach den Voraussetzungen verschwindet aber weder « -fi iZ fi- 7 -j-..,noch 88', also ist (-r -fi . .) 88' von «.^' fl.LL' -s- . .verschieden, d. h. 8 ist nicht Schwerpunct des gegebenen Systems, ge-gen die Voraussetzung.
Wenn die gegebenen Puncte auf einer Geraden liegen, so liegt ihrSchwerpunct auf derselben Geraden. Läge der Schwerpunct 8 nebender Geraden - 4 L, so ziehe man durch > 4 , L, . . parallele Geradevon beliebiger Richtung und schneide dieselben durch eine Gerade, diemit parallel ist und den Punct >8 enthält, in 8, ^,' L', . . . Weil88—0 und — 88' — . so findet man 0 — -r /6 fi- 7
-j- . . gegen die Voraussetzung.
Wenn die gegebenen Puncte auf einer Ebene liegen, so liegt ihrSchwerpunct auf derselben Ebene. Läge der Schwerpunct 8 außer derEbene ^l88, so ziehe man durch 8, ^ 4 , 8, . . parallele Gerade von be-liebiger Richtung und schneide dieselben durch eine Ebene, die mit - 486 'parallel ist und den Punct 8 enthält, in 8, - 4 ', 8', . . . Weil 88— 0 und - 4 ^t' — 88' so findet man 0 « -j- /S .. ge-
gen die Voraussetzung.
L. Der Schwerpunct 8 von «.^l und fi.8 theilt die Strecke -18nach dem Verhältniß fi : «, innen oder außen, je nachdem mit « das-selbe Zeichen hat oder nicht. Denn aus der Proportion - 48 : 88 —: « folgt die Gleichung
«.- 1 - 4 ' -s- fi.8ü' -- (« -fl fi) 88für jede Richtung der Parallelen -t- 4 ', 88', 88' und jede Gerade,welche dieselben in - 4 ', 8', 8' schneidet (Planim. tz. 8, 4 ).
Der Schwerpunct <2 von «.- 1 , fi.8 und 7.0 ist der Schwerpunctvon (« -j- fl)8 und /.O, und theilt die Streckend nach dem Verhält-niß 7 : a fi. Denn aus der Proportion 8<2 : <28 — 7 : « -j- flfließt die Gleichung
(« -j- 88' -j- 7. w fi -j- 7) <2<2',
also auch
«.- 4 - 4 ' -j- fl.88' 7.88' (« -j- -fi 7) <2<2'
für jede Richtung der Parallelen und jede Ebene, welche dieselben in-4', 8', 8', 8', <2' schneidet, u. s. w.
Ueberhaupt können bei der Bestimmung des Schwerpuncts von«.- 4 , fi.8, 7.0, . . zwei oder mehr Puncte des Systems durch ihrenbesondern Schwerpunct ersetzt werden, dem als Coefficient die Summeder Koefficienten der zu ersetzenden Puncte gegeben wird.
Wenn einige unter den Koefficienten negativ sind, so kann man zu-