H, 11. Bon den Schwerpunkten der Figuren.

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' Beweis. Durch den Punct 0 ziehe man wie oben ( 2 > die Ge-

raden 02 , 01 °, 02 , jedoch so daß sie Kanten einer dreirechtwinkeligen^ Ecke sind. Nun projicire man die Strecken 00 , 02 , OO, 00 , . . auf02, 02, 02 durch Ebenen, die der Reihe nach mit den Ebenen 022,022, 022 parallel sind, und bezeichne die Projectionen auf 02 durchn, n,, «2, -»3' - auf 02 durch z/, z,,, z/z, Ag, - auf 02 durch r,-i, -^2, ^s, - - - Dann ist (2)

(« -j- ^ — -rw, -si -j- 7-r-z .

! u. s. w. Hieraus folgt

! (« -j- jS -s- . .)(l>^2 ^ - (« si- /r -j- . )2g.2

? ^ jS -s- . ^2 _p. , ^ («2), -j- ^2 -j- .

! Nach Entwickelung der letztem Formel bleiben keine Glieder mit den! Coefficienten «2, ^ . gbrig. Der Coefficient kommt in 3 Gliedernvor, deren Verein

' 2 — 2 w^ 5 C 2 -si ^2') — «^(«1 — -»2)2

! ist. U. s. w. Daher findet man

(« -si -f- . .)(a-r.'i2 -j- ^2 -f- . .) — (o- -si ^ -j- . -,2^.2^ ---- — 2-2)^ -si «7^ — wg)- -si . . -j- ^(->-2 — -j- . . .

' Ebenso ergeben sich die Gleichungen! -j- /3 -j- . -ch ^2 si- ..) — (« -j- -s- .

! — r/.z^ -f- «/(r/l — z/g)2 -j- . . -s- — Z/3^ ^ - v

§ si- . .)(^,2 ^2 -s- ..)-(« -s- ^ . ,)2-2

--- — 22)2 -j- — 2g)2 -s- . . -j- < 3 y <>2 — Lz)2 -j- . . .

Die Differenzen w, — ^, z,, — ZO, ^ sind aber zufolge

der Construction die Normalprojectionen der Strecke 02 auf die Gera-den 02, 02, 02, aus denen die Strecke selbst berechnet werden kann.Man ziehe durch 2 die Geraden 22, 20, 210 parallel mit 02, 02,02, und lege durch O Ebenen parallel mit den Ebenen 20710 , 2ü02,220, welche die Geraden 22, 20, 2.1/ in den Punc-

ten 2, O, 3/ schneiden. Hierdurch entsteht ein recht-

winkeliges Parallelepiped, dessen Kanten 22, 20 ----

lXiw /X

22, 2H0 — 0^0 die Normalprojectionen der Dia-gonale 20 auf Gerade der Richtungen 02, 02,02 sind. Nun ist nach dem Pythagoreischen Satze

!

X

_/_L

22^ 2 222 --- 20-2, 222 -f- 222 ^ 202,folglich

222 _p ^2 ^ ^2

oder

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