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Fünftes Buch. Stereometrie.

(Mj — 2^)2 -s- — ^)2 -j- ^

u. s. w. Ebenso ist

^ 2 0,2 ---- 0^2, u s. tv.

Demnach findet man durch Addition der 3 obigen Gleichungen

(« -s- st ->-..)(«. OA2 -j- st. SF2 -p, .,) — (« -s- st . .)20S2 !

-- «st.AS2 -s- st7.L(72 -s- . ., !

woraus die zu beweisende Gleichung sich ergiebt, nachdem man noch idurch « -st st -s- . . dividirt hat. i

Anmerkung. Wenn der willkürliche Punct 0 mit dem Schwer-punkt S zusammenfällt, so verschwindet OS, und man behält die Glei-chung* **) )

-j- st.SS'2 -j- .

«st.AS2-s--j-..-f-st/.S02-s-.. ^

« -fi fi" / ch - -

8. Die Summe «.0A2 -p, st.0S2 -j- ,,.0L)2 -j- . . behält für !verschiedene Puncte O einen und denselben Werth, wenn OS unverän-dert bleibt. Wenn demnach A, s, O, . . gegebene Puncte, «, st, /, . .gegebene Zahlen sind, deren Summe nicht verschwindet, so liegen diePuncte 0, für welche die Summe «.0A2 -s- st.0ü2 .. einen unddenselben Werth hat, auf einer Kugel, deren Centrum der Schwerpunktvon «. A, st. L, 7.0, . . ist.")

Ueberhaupt hat zufolge der aufgestellten Gleichung die Summe«.OA'2 /Z.0S2 -p . . einen kleinsten oder einen größten Werth, je

nachdem « fi- st fi- . . positiv oder negativ ist. Ihren kleinsten odergrößten Werth erreicht die Summe «.OA? ^ ^ 0^2 )- . indem i

der beliebige Punct 0 mit dem Schwerpunkt S zusammenfällt. Solltedie Summe «.OA'2 -s- st.0S2 einen unveränderlichen Werth

haben, der den Werth «.SA? -s- st.SL2 . in dem einen Fallenicht erreichte, in dem andern Falle überstiege, so würden die Puncte Sauf einer imaginären Kugel liegen, die zwar ein reales Centrum S, aber ''einen imaginären Radius hat.

Wenn « -j- st 7 -j- . . verschwindet, so liegen die Puncte 0, 1

für welche die Summe «.0A2 -f- st.0S2 -p, , , einen und denselbenWerth hat, im Allgemeinen anf einer bestimmten Kugel, deren Centrumder unendlich ferne Schwerpunkt des Systems «.A, st.L, . . ist (6),d. h. auf einer bestimmten Ebene, die zu der Richtung normal steht, in

*) Lagrange a. a. O., und Carnot §som. äs xos. 280 für den Fall <- —

**) Bergt. Planim. Z. 14, 22. Carnot a. a. O. Meier Hirsch geom. Ausg.II p. 336 ff.