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Fünftes Buch. Stereometrie.

Wenn überhaupt eine mit einer Axe versehene Planfigur um eineGerade ihrer Ebene rotirt, die mit der.Axe der Figur parallel ist, sobeschreiben die beiden Hälften des Perimeters und der Fläche / Ring-flächen und Ringvolume, deren halbe Differenzen der Fläche und demVolum gleich sind, welche eine Hälfte der Planfigur durch Rotation umihre eigene Axe beschreibt.*) Haben die Schwerpuncte des Perimetersund seiner beiden Hälften die Abstände ä, ich L" von der Rotativnsaxe,und die Abstände«», o, e von der Axe der Figur, so ist i/ — Si>" — L — e, folglich

die ganze Ringfläche — ?>. 27rb

- äußere - --- ^?-2nL' — ^.27rL -I- ^.27rc

- innere - — Hx>.27rö" — Hx.27rö — jx>.27rc

folglich die halbe Differenz der äußern und innern Ringfläche--^.27re.Ebenso findet man die entsprechenden Ausdrücke für die Ringvolume.

Wenn die rotirende Planfigur keine Axe, aber ein Eentrum besitzt,und durch den mit der Rotationsaxe parallelen Diameter getheilt wird,so ergeben sich dieselben Resultate wie vorhin.

Kennt man das von einer Planfigur (Linie oder Fläche) durch Ro-tation um eine Gerade ihrer Ebene beschriebene Gebilde (Fläche oderVolum), so kann man ohne Weiteres auck das von der Planfigur durchRotation um eine andere Gerade der Ebene beschriebene Gebilde be-rechnen, wenn die beiden Rotationsaxen parallel sind. Ist A derSchwerpunkt der rotirenden Figur und wird die erste Rotationsaxein L, die andere in <7 von der durch A gehenden Normale getroffen, soerhält man für die Differenz der beiden Rotationsgebilde den Ausdruck

^.2ir.A6 — ^.27r.AN — ^.27r.2)6,

worin L<7, der Abstand der beiden Rotationsaxen, positiv oder negativist, je nachdem die andere Axe von dem Schwerpunkt eine größere oderkleinere Entfernung hat, als die erste Axe.

13 . Wenn die Fläche und das Volum eines Rotationsgebildesgegeben ist, so können nach der Guldin'schen Regel die Schwerpunctefür den Perimeter und die Fläche der Meridianfigur bestimmt werden.**)

Z. B. der Schwerpunkt K des Kreisbogens AL und der Schwer-punkt 2^ des Kreissektors DAS liegen auf dem Radius 2)6, welcher denBogen und den Sektor halbirt (9). Wenn der Bogen und der Sektor

*) Meier Hirsch geom. Aufg. II, 173.

**) Meier Hirsch geom. Aufg. II, 192.