ß. 11. Von den Schwerpuneten der Figuren.
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um die normal zu 2)6 durch 2) gelegte Axe rotiren,so hat man für die von dem Bogen beschriebeneFläche
^1S.27r./)L -- 2,1.2)0 (Z. 10, 7),
worin die Normalprojection ^4'S^ des Bogensaus die Rotationsaxe der Sehne des Bogens gleich ^4ist; und für das von dem Sector beschriebene Volum
2)^24.271.2)2' — ck'24'.H 71.2)62,(8. 1,», 7).Nun ist der Sector ))^12>' — ^ck.24. 2)6, folglich
2)L2) <7
^4S '
16. Die Guldin'sche Regel dient auch dann zur Berechnung der Ober-fläche und des Volums, welche eine bewegte Planfigur beschreibt, wenndie Puncte der Planfigur nicht auf parallelen Kreisen, sondern auf beliebigenandern parallelen Curven normal znr Ebene ver Planfigur fortschreiten. *)
Die Planfigur ck2)6 werde so bewegt, daß der Punct ck auf einergegebenen Curve 2)24 fortschreitet, daß die Ebene ^42)6 die Curve 2)Limmer normal schneidet, und daß die Gerade ckL,welche die bewegte Planfigur einmal mit der Ebeneder Curve 2)L gemein hat, immer auf der Ebene - ' /L'
der Curve 2)L bleibt. Während der Punct ^4 den ^ ^
Bogen ^4-42 zurücklegt, beschreibt der Perimeter der W«
Planfigur ein Stück Riugfläche und die Fläche derPlanfigur ein Stück Ringvolum, die nach der Gul-din'schen Regel desto genauer gefunden werden, jekleiner der Bogen ^4ck' ist. Man kann nämlich das beschriebene StückRingfläche oder Ringvolum durch ein Stück der Ringfläche oder desRingvolums ersetzen, welche die Planfigur ^4L6 beschreibt, wenn sieum die Axe zu rotiren beginnt, die auf der Ebene ckS6 normal zu ^424durch das Krümmungscentrum des Bogens geht. Die Summealler Stücke ist das Product von dem Perimeter oder der Fläche derPlanfigur mit der Summe aller Bahnen des zugehörigen Schwerpunkts.Die Bahn des Schwerpunkts ist von der parallelen Bahn des Punctes-4 der Länge nach nicht verschieden.
Die Curve 2)24 kann auch uneben sein. Dann hat man unter ihrerEbene in dem Punct ^4 diejenige zu verstehen, welche den verschwinden-den Bogen und dessen Krümmungscentrum enthält. U. s. w.
*) Diese Bemerkung ist zum Theil von Leibniz gemacht worden. Lets, Lruä.169-, p. 493. Euter hat in der Abhandlung „über krumme Cylinder" 1778 (NovLei. 1>stroi>. 12 x. 91) die nähern Bedingungen festgestellt. Vergl. Meier Hirschgeom. Aufg. II, tz. 174 ff. (davon einiges ungenau) und Pvisso'n Lleean. 84.