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Fünftes Buch. Stereometrie.
Der dreiseitige Prismenhuf A'L^0"A"L"O" wird durch die Diagonal-dreiecke A"2stO" und A"L^O" in die dreiseitigen Pyramiden A^2stO"A",A"21^0^0" und A"L^O"L" zerlegt. Davon istA"LDD" ---- A'L'O'O",
weil A"A^ mit der Fläche 2st(70" parallel ist, und
A"L'0"L" -- A'L'0"L" --- A'S'0'S",
weil A"^st mit der Fläche 21^0"L" und 6'"^ mit der-»Fläche A^2st21" parallel ist. Nun ist A^2st(stA" derdritte Theil des Prisma, dessen Normalschnitt ASOund dessen Läugenkante A'A" ist, u. s. w. Also ist derdreiseitige Prismenhuf A^2st(stA"2r"0"
^ -- zA2?0(ck'A" -st S'L" -st 6"6'") A2Z 0.202^",folglich der ganze Prismenhuf
--- ALO.L'L" -st A022.222." -st (AL02)..)S^".Anmerkung. Insbesondere haben zwei Hufe eines Prisma (Cy-linder) gleiche Volume, wenn ihre Schwerkanten in Bezug auf dieSchnittflächen des Prisma von gleicher Länge sind.
20 . Das Volum eines Polyeders kann aus Prismenhufen zu- i
sammengesetzt werden,*) wie die Fläche eines planen Polygons aus be- j
grenzten Streifen. (Planim. H. 10, 6). Man ziehe durch die Eckpuncte !
Parallelen von beliebiger Richtung und schneide dieselben normal durch ^
eine Ebene. Dadurch erhält man soviel Prismenhufe als Flächen des ^
Polyeders, und von jeder Fläche ihre Normalprojection auf die schnei- ^
dende Ebene. Bezeichnet man die Schwerpuncte der einzelnen Flächen !
durch A, L, 0, .., die Normalprojectionen dieser Puncte auf die schnei-dende Ebene durch Ast Lst Ost.., und die Normalprojectionen der Flä-chen durch «, st, so haben die Hufe die Werthe «.AAst st.SSH
7 . OOst . . (19), und das Volum des Polyeders ist die Summett.AA' -st st.SS' -st ?.0t7 -st ...
Durch die Perimeter der Flächen des Polyeders (Z. 8, 16) sind die !Perimeter der Normalprojectionen dieser Flächen, mithin die Zeichen jvon «, st, . bestimmt.
Die Summe der Normalprojectionen der Flächen eines Polyeders« -st -st 7 -st - - verschwindet (vergl. unten Trigon. tz. 6, 3), also hatdas System «.A, st.21, y.O, .. einen unendlich fernen Schwerpunkt (6).Wenn insbesondere das System «.A, st. 21, . . keinen Schwerpunkt hat,so verschwindet das Volum des Polyeders.
st Meier Hirsch a. a. O. 165.