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Sechstes Buch. Trigonometrie.
Größe A(7. Man hat also die Grenzwerthe
siiiO — 0, sin90° — 1.
3 . Von den elementar constrnirbaren Winkeln können die Sinnsnach bekannten planimetrischen Sätzen berechnet werden.
Ist ^ -- 45°, so ist L6 -- -47?, 2L(7^ -- A6- nach dem Pytha-goreischen Satz, also
811! 45°
0,7071
Ist A —60°, so ist -47?-- z.iO, ^62 -I- L'62 ^ füglich
77(7 ^
sin 60°
0,8660
Ist -4 ^ 30°, so ist 7?0 ---- i-16, also sm30° -- 0,5.
Ist /t — t8", so ist St) dein halben goldnen Abschnitt von -4 <7gleich (Planim. tz. 11, 6), also
60 — < 5—1-40 ^ I
8iri 18° — 0,3090 ...
Von andern Winkeln, welche Summen oder Differenzen, Zweifacheoder Hälften, u. s. w. von solchen Winkeln sind, deren Sinus man be-reits gefunden hat, können die Sinus berechnet werden auf Grund desPtolemüischen Satzes (Planim. tz. 14, 15) oder des entsprechenden go-niometrischen Satzes. Vergl. unten tz. 4, 6 und 7. Auch bietet diemathematische Analysis die umfassendsten Mittel znr directen Berech-nung der Sinus aller Winkel (Allg. Arithm. tz. 31, 6).
Man ist daher im Stande gewesen, Tabellen zusammenzustellen,welche zu jedem Winkel von 0 bis 90° nicht nur. den Sinus, sondernauch den gemeinen Logarithmen desselben mit hinreichender Genauigkeitenthalten.*) Die Logarithmen der Sinus sind negativ, und erhalten
1 Die Griechen haben zu allen von 0 bis 180° um halbe Grade verschiedenenCcntriwinkeln die Verhältnisse ihrer Sehnen zum Radius berechnet, und dabei denRadius in 60 Theile («»?(,«-), jeden Theil in 60 Minuten, jede Minute in 60 Se-cunden getheilt. Die ältesten Schriften, welche von den erforderlichen metrischen Re-lationen der Kreissehnen handelten, waren nach Theon's Zeugniß (im Commentarzum Almagest) von Hipparchns und Menelaus verfaßt. Die Tabelle der Seh-nenverhältinsse und eine einfache Methode, nach welcher die Tabelle construirt werdenkann. ist von PtolcmäuS (Almagest 1,9) mitgetheilt. Vergl. Kastrier geom. Ab-handt. I p. 525, II p. 354. Weil der Sinus eines Peripheriewinkels das Verhält-niß der gegenüberliegenden Sehne zum Diameter ist, so konnten die Araber aus derPtolemäischeu Tabelle sofort die Tabelle der in Scxagesimalbrüchcn ausgedrückten Si-nus ableiten, indem sie die Centriwinkel und die nebenstehenden Verhältnisse ihrerSehnen znm Radius halbirten. Statt der Sexagesiinalbrüche wurden die Decimal-drnche in die Sinnstabellen eingeführt durch die deutschen Astronomen Penrbach undRegiomontan 1450. Die (natürlichen) Logarithmen der Sinus sind von Neper