Z. 2. Von dem Cosinus.

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Aus ö --- 3921, e --- 4652, « ---- 27 "38^ findet man« — -fi e2 — 2ieco8« — 2168.

Aus a — 246,9, L --- 163,9, / ---- 113°16',4 findet mane -- ^«2 -s- S2 4- 2aLmii23»1«i',4 346,1.

Man kann die Berechnung durch Benutzung der Gauß'schen Tabelle(Allg. Arithm. H. 21,2) erleichtern. Am einfachsten aber wird die ersteAufgabe durch den Gauß'schen Doppelsatz gelöst. S. unten Z. 3, 8.

3 . Zur Berechnung des Winkels « aus den Seiten a, L, e hatman die Gleichung «2 — 52 -j- i>2 — 2i-eoo8«, folglich

K2 -I- — «2

<rv8« --—-.

2üe

Wenn «2 — -2 «2, ^ 0080! — 0, -2 — 990. Wenn «2

>- i,2 4- o2, so ist 008« negativ, « stumpf, und man findet in denTabellen « — 90", nachdem man — 008« — 8iu(« — 90") ge-setzt hat.

Wenn b'2 -1- «2 — «2 > 44 2be d. h. (ö 4- o)2 — «2 > 0,wenn also die Differenz von 2 Seiten größer oder die Summe von 2Seiten kleiner ist als die dritte Seite, so fällt oo«« außerhalb der Gren-zen 1 und — 1, der gesuchte Winkel ist nicht real und das Dreieck nichtconstruirbar.

Anmerkung. Aus den Gleichungen (tz. 1, 7)

4^1 " 2bo8iii«

H2 -s- ?2 — «2 — 2ioeo8«

findet man, weil 0032« 4- 8in2« —

16^2 -p- (ö2 4- «2 __ «2)2 ^ 4-2^2,

^/2 ^ - «)(s - K)(s — 0^

wenn ^ die halbe Summe der Seiten bedeutet. S. Plannn, tz. 14,23.Nachdem man die Fläche -ck aus den Seiten berechnet hat, kann mandie Winkel auch aus den Gleichungen

8111 «

2^

abo

8111 fi

2^, -- 0 , 8in vaoe '

2^,

abo

finden. Vergl. ß. 1, 8. Die den kleinern Seiten gegenüberliegendenWinkel sind spitz; der der größten Seite gegenüberliegende Winkel istspitz oder stumpf, so daß er mit den beiden andern Winkeln die Summe180" bildet.

Die einfachste numerische Lösung der zweiten Aufgabe gründet sichauf Formeln, welche in Z. 3, 5 folgen.