298

Sechstes Buch. Trigonometrie.

die mit /, ,,, ä der Reihe nach parallel und von einerlei positiven Rich-tungen sind, so sind die Winkel /(-/ und /§, -//? und A/-, /</'^ und /-/gleich (Plannn, tz. 2, 9), daher^ 0.Aus dieser Gleichung erhält man

si- — ä/ — //r,

/L A/- — A/' ^ /F — ^ u. s. W.

Bei der Bezeichnung eines Winkels durch 9 Buchstaben, z. B.<7761 wird vorausgesetzt, daß die positiven Richtungen der Schenkel von7k nach 0 und von 7k nach A gehn. Bei der Bezeichnung des vonzwei Strecken A7k und 0/- gebildeten Winkels A7k'67- wird vorausge-setzt, daß die positiven Richtungen der Schenkel von -l nach 77 und von6 nach 7- gehn.

2 . Wenn eine beliebige Strecke A7k der Geraden H auf die Ge-rade cr durch Normalen projicirt und die Projektion durch A^7k, be-zeichnet wird, so ist das Verhältniß der Projektion zur proji-cirten Strecke A^7k^ : A7k unabhängig von der Länge der Streckeund ihrer Lage auf der Geraden ^ (Plannn, ß. 8, 2), und verändertsich im Allgemeinen, wenn der von den Geraden u und /- gebildeteWinkel eine Veränderung erleidet (Z. l, 3). Demnach ist das genannteVerhältniß eine bestimmte Funktion des Winkels n/r und heißt der Co-sinus dieses Winkels. Man bezeichnet den Cosinus des Winkels L/kdurch oo8so daß

oo8 — A^7?i : A7k, A^Tk^ — A7koo8!rH.

In dieser umfassenden Definition des Cosinus irgend eines Winkels istdie von dem Cosinus eines spitzen Winkels in tz. 2 gegebene Definitionenthalten. *)

Zwei Winkel, welche entgegengesetzt gleich sind, haben dieselben Co-sinus; zwei Winkel, deren Differenz oder Summe 18 (>o beträgt, habenentgegengesetzt gleiche Cosinus, z. B.

eos(— «) — oo8«,

008 (« -s- 180") — - 608« — 008 (- « -j- 1800).

Beweis. Wenn die Gerade L den Winkel halbirt, so sinddie Winkel und gleich, ^ und «L entgegengesetzt gleich. DieGeraden, welche die Strecke A7k der Geraden 7- auf m normal projici

') Diese Anordnung und unbeschränkte Begründung der Goniometrie und Tri-gonometrie verdankt man Mobins. Vgl. die angeführten Schriften.