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Sechstes Buch. Trigonometrie.

des Dreiecks von den Winkeln /r/, /§- zu 180" ergänzt. Nun istsii,« -- (3), u. s. w., folglich

a : b : 6 — sill« : sin/Z : sin (^. 1, 8).

6. Wenn man in die gefundenen Gleichungen für L<7, Q4, ASdie ihnen proportionalen Werthe 8i»^, sin8i»/<, setzt, so erhältman die für 4 beliebige Gerade einer Ebene, /, A, m gültigen Glei-chungen

sinA^oos m/ -f- 81» ^ -f- 8I»/A 008 m/r — 0,

8IN A/r 81» -f- 81» /l/81» LA -f- 8»l/A 81» m/t — 0,

aus denen die Relationen der goniometrischen Functionen sich ableitenlassen.

Setzt man die Winkel

----- X, MA — z, ----- st,

so ist

F/r ----- — z., — X — st, /A — il — X,

weil F/i — rc/, — (1), u. s. w. Demnach ist für 3 beliebige Win-

kel x, z, st?)

81» (^ st)o»8X -s- 81» (st x)e.08z -s- 81» (x >.)i:08st — 0,

81» (z st)8I»X -s- 81» (st x)8I»z -s- 81» (x z)8IN st — 0.

Dividirt man durch 8»> x 8i» 8i» st, so erhält man

81» (st - x)

81» st 81» X

-I-

81» X si» 1. ^ 81» z 81» st

Ebenso hat man für die Winkel x, s», „

- x)

8W V 8INX

81N X 81N /L ' 8IN ^ 8IV V

81N X 8IN /L

daher durch Addition

8INX 8111 ^

5IN^ 8IN^

4-

8IN(^. - V)

81 N^ 81 N^

81N V 81NX

u. s.f. Als Divisoren können an die Stelle von 8i»x,.. auch Ex, ..gesetzt werden.

Anmerkung. Die obige Fundamentalgleichung der Goniometriewurde im Alterthum durch den Ptolemäischen Lehrsatz (Planim. Z. 14,15)

*) Carnot Avom. cls xos. 139 fs., 215 und 21V.