H. 4. Goniometrie.

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vertreten. Sind nämlich 7^0, TV^-t, 7V77, . . Radieneines Kreises, sv werden die Sehnen 07?, A77, . .anch dem Zeichen nach durch die Prodncte eines Dia-meters mit dem Sinus der halben Centriwinkel 07VA,07V77, ^17V77, . . ausgedrückt (vergl. tz. 1, 6). Setztman uun

z 07VA ----- x, 4 07V77 ----- 7, 4 07V0 ^ s,.,

folglich

^ATV^T, — z — x, ^777VO ----- s« — z, ^ 07VA ----- x —so giebt die gefundene Gleichung

A/t

OA.077

-b

770

077.00

0>t

00. 0A

----- 0, u. s. w.

7. Die Substitution x — «, z — /7, s, o giebt (6)

I. «ins« — §7) ----- 8io«oos^ — 008«8IO^,sink« -s- /7) — 8io«oo8/7 -j- oo8«8io/7.

Bei Vcrtauschung von /7 mit — /7 bleibt oo8^ unverändert, sin/7 wech-selt das Zeichen. Vertauscht man « mit 90" — «, so findet man ausdiesen Gleichungen

tl. 008 (tt -s- j7) — 008 «008/7 - 801 «810/7,

008 (« - /7) 008 «008/7 ch- 810 «810/7.

Setzt man hierin ^ — «, so erhält man

008^« -j- 810 2« — 008 0 — 1in Uebereinstimmung mit Z. 2, 2 und

III. 810 2« ------ 2 810 «008«,

008 2« — 008^« - 810 2«.

Verbindet man die letzte Gleichung mit der Gleichung 1 ----- oo^w-s- 8io 2«, so ergicbt sich

IV. I -s- 008 2« — 2 008 2«,

1 - 008 2« — 2 810 2«.

Anmerkung. Diese Gleichungen enthalten den Zusammenhangzwischen dem Sinus und dem Cosinus eines Winkels, zwischen den Si-nns und Cosinus von zwei Winkeln und dem Sinus oder Cosinus derSumme und der Differenz von beiden Winkeln, zwischen dem Sinnsund Cosinus eines Winkels und dem Sinus oder Cosinus des doppeltenoder halben Winkels. Man kann also aus dem Sinus eines Winkelsdie Sinus von beliebig vielen Winkeln berechnen.

Die Relationen der goniometrischen Funktionen wurden im Alter-thum als Gleichungen zwischen Kreissehnen dargestellt (6, Anm.); man