j. 6. Polygonometrie und Polyedrometrie.

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s In dem einfachsten Falle hat man bei 3 mit einer Ebene parallelen

Geraden a, S, c, und einer beliebigen andern Geraden p die Gleichung! ovsaxsiuöe -s- eo8ö/>8iriea st- oo8ox8illaö — 0.

i Zieht man also durch das Centrum einer Kugel, deren Radius eine

Längeneinheit ist, parallel mit a, S, o, Gerade, deren positive Rich-! tungen die Kugel in -4, S, 6, D schneiden, so liegen ^1, L, <7 auf einemHauptkreise, und man hat*)

eo8^4D8inL6 -j- co8L/'8iii 6-4 -s- e08 6D8iri-4L — 0.

11 . Wenn das Polygon plan ist, so gilt nicht nur die Gleichung (1)

«1°»^., "st

«2^08^ 2 "st -

sondern es ist auch**)

a>r>x. 1 ch

«2^,2 "st -

. "st ^

Diese Gleichung entspringt aus der vorigen, wenn für die Geradeeine andere angenommen wird, die mit ^ einen Winkel von 90" bildet.Dabei geht ^ in — 8in^, , über (Z. 4, 3).

Die gefundene allgemeine Gleichung enthält das System von Glei-chungen

*

"st

«2 8111 ,

2 "st -

. st-

»1^2.1

*

"st -

. st" a„ »in

2 "st -

- st- *

12 . Die Fläche eines planen Polygons von n Seiten ist durchn — 1 Seiten und deren Winkel bestimmt, und zwar ist /„ die halbeSumme der Werthe, welche aus der Formel

entspringen, wenn man für r, L je zwei verschiedene aus der Reihe derNumern 1, 2, .., n — 1 setzt, so daß L >> -.***)

Beweis. Das Polygon besteht aus dem Polygon

und dem Dreieck ^,-4^-1^ (Planim. Z. 9, 10), folglich

ist (8- 4, 12)

2/„ 2/„_i -- 2/„,i -4-

Nach (11) hat man

*) Diese sphärische Gleichung ist von Carnot xsorri. äs xos. 344 gesucht, abernicht erreicht worden; sie kommt in Schulz Sphärik II, 49 vor und bei Möbius(analyt. Sphärik 7), der sie zur Grundlage der sphärischen Trigonometrie gemachthat, Ihr entspricht in der Planimetrie Stewart'« Lehrsatz (Planim. H. 44, 22).

**) Lerell und L'Huilier a. a. O.

***) L'Huilier pol^xon. x. 8.