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Sechstes Buch. Trigonometrie.

folglich ist nach der obigen Bezeichnung

2/« — 2/„^i -j- -i- «2. »-1 ^ ' ^ ^n-2. n-1-

Wenn nun 2/»-i die Snmme der Werthe

§ 1,2 § 1.3 si" - - ^ § 1,»-2

^ ^ 2,3 si" - - ^ ^ 2.---2

»n—3.2

ist, welche die Formel s. 44 enthält, wenn man für r, L die Billionender Numern 1, 2, .., »— 2 setzt, so ist 2/„ die Summe der Werthe,welche dieselbe Formel darbietet, wenn für 7, L die Binionen der Numern4, 2, . n—1 gesetzt werden (Allg. Arithm. A. 25, 5). Nun ist 2/g^ 2, füglich 2/j ^ 2 ^ -"l.3 ^2.3, u. s. f.

13 . Wenn die Ebenen der planen Polygone und

Lz .. nach willkürlicher Festsetzung ihrer positiven Sinne den

Winkel y> bilden und die Flächen derselben die Werthe a und S haben;wenn ferner s Numern der Reihe 1, 2, .., m und ?>, « Numernder Reihe 4, 2, .., n sind; wenn endlich die Geraden AN,,, 77S, nachwillkürlicher Festsetzung ihrer positiven Richtungen einen Winkel bilden,dessen Cosinus durch 003,,,, bezeichnet wird, und demgemäß das Pro-duct AA^. 777)^ 0084,, ^ den Werth hat: so ist das Product 4aSoo8y>die Snmme der (m—1)(>r— 1) Werthe, welche aus der Formel

1 - ^ ^

dadurch entspringen, daß man für s je zwei folgende Numern derReihe 4, 2, .., M und zugleich für « je zwei folgende Numern derReihe 4, 2, .., » setzt?)

Beweis. Auf der Ebene AA4A, liege dasDreieck 07)47)2. Die Geraden, auf denen dieStrecken AA^AA,, 7)7),, 74/^ liegen, werden durch/, A, 7, 7 bezeichnet, und durch A die Geraden ?,7^, gezogen, welche mit 7, 7, / Winkel von 90"bilden. Vollendet man das Parallelogramm A7I7A-,7V,dessen Seiten auf den Geraden ? und 7' liegen,so hat man (tz. 4, 42)

2AA4.4/ — 7174 . AA^ 8in?/ — AN,. A.4/eos/7,2747)47)2 ^ 7)2 7). 7)7)48111^7 — 7)7),. z)/)^ iio.8?7.

Weil 747-42 normal zu 7 ist, so haben A47 und AA2 auf 7 gleiche Nor-malprojectionen, d. h.

*) v. Staudt's Lehrsatz. Crelle I. 24 x. 252.