ß. 7. Die projectivischen Formeln.

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8iri^4Ä oc>8^«74

8111^5151 008^50

u. s, W., folglich'

8IN ^ 451 8in^515' 8in^«7«2 _

8IN ^ 51 51 8in^5'«7 8in^04

Zugleich folgt aus der Gleichung der Flächen <745? und L54L (K. 5, 14)oot ^ <74 oot ^ 451 — eot^ <24oot^45, u. s. W.

eo1^451 oot^515 oot^OO, _

oot^515 oot^^(7 eot^«J4

Indem man das Quadrat der ersten Gleichung mit der zweiten Gleichungmultiplicirt, findet man

8111 451 .8111 55 8IN <7<5 8111 451 .8111 55 8111 <7<2

8iuÄ5 8I>1 5'5' SIII 554 ' 8IN51Ä 8111 <75 8in4<5

8 . Das Product der Verhältnisse, nach denen die Seiten einesPolygons durch eine Gerade oder eine Ebene getheilt werden, ist 1.Denselben Werth hat das Product der Sinus-Verhältnisse, nach denendie Seiten eines sphärischen Polygons durch einen Haupttreis getheiltwerden. *)

Beweis. Wenn 456 ein geradliniges Dreieck und 441V eineGerade seiner Ebene ist, so hat man (1)

(4, 5, 455V) (5, (7, 455V) (6, 4, 451V) --

4451V 514 51V «7451V54/.V 645.V 4451V

u. s. w. Wenn 4565) ein unebenes Viereck und 455VO eine beliebigeEbene ist, so findet man

(4, 51, 455VO) (51, (7, 455V0) ((7, 5>, 455V0) (5), 4, 4540) ^ 1,indem man (4, 5, 455V6), .. durch Tetraederverhältnisse ausdrückt (1),u. s. w.

Bezeichnet man die Theilpuncte von 45, 56, .. durch 5) <2, ..,und eine sphärische Centralprojection der Puncte 4, 51, .. durch 4,S', .. (4), so ist

45' 51 «4 _8iii 4'5" 8iii 51'5),'

515' 6<2 " "" 8! ii 51'5' sin 65)' ''

eine projectivische Formel. Um den Werth derselben zu finden, projicire

*) Menelaus LplineriLN III, 1. Dieser Satz bildete, wie man aus demAlmagest I, 9 erkennt, das Fundament der alten sphärischen Trigonometrie. Bergt.Schubert tVov. 4ot. ketrop. (1796) 12 p. 165. Der ganze Umfang des Satzesist durch Carnot Irnnsvors. 3 und Möbius barhc. Calc. 198 bestimmt worden.