K. 7. Die projectivischen Formeln.

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Das anharmonische Verhältniß von Puncten einer Geraden kehltauch dann noch seinen Werth, wenn man die Puncte durch einen Ti-schet von Ebenen auf eine Gerade proji- _,_ ^

cirt. *) Die Ebenen a, /ch 7, ö welche die ^

Gerade s gemein haben, gehn durch diePuncte U, O, 6, O einer Geraden, und

schneiden eine beliebige zweite Gerade in Ah AOh Oh Die Gerade AO 7 wird von den v O

Ebenen A 7 in O", 6" geschnitten, so daß Xt-

die Geraden AAH OO'H 00 " und O"OH0 " 0 H 7 )O^ je einen planen Büschel bilden.

Daher ist nach dem obigen Satze

(A, 6, O, O) -- (Ah S", O", O) ---- (Ah Lh Oh 7)h.

Wenn der plane Büschel von Geraden a", ö", o", 6t" ein Norm'l-schnitt des Büschels der Ebenen a, jS, 7, ö ist, so hat man identisch

0, A ö)

0", Ä").

Werden die Geraden a", L", 0", -t" von einer beliebigen Geraden ih erEbene in A", O", O", O" geschnitten, so ist nach dem Obigen

O, O,

0", <t")

(A", O", 6", O")

l«, A 7, S)

Projicirt man also die Puncte einer Geraden A, O, O, O dldchdie Geraden «, S, 0, ct und durch die Geraden ah Lh oh rth durch ueEbenen a, ss, 7, S und durch die Ebenen ah j)h 7H öh die je eiMBüschel bilden, so hat man

(a, S, 0, -y

(ah Lh oh ct"/

(A, O, O, O)

(«, <b, 7, ö)

(A, 6, O, 7 ))

(«X §h 7X öh,

(ah Lh oh cth

(a, b, c, ct)

jb, 7, ö)

Und wenn ein Büschel von Hauptkreisen a, L, 0, a! einer Kujclvon einem Hauptkreis in den Puncten A, O, O, O, von einem andst'nHauptkreis in den Puncten Ah Oh Oh O^ geschnitten wird, wenn fer>evdurch die Puncte eines Hauptkreises A, O, O, O sowohl die Hanptkrsis^a, L, 0, ot, als auch die Hauptkreise «h Lh oh ^ gehn, die je eiDNBüschel bilden, so ist**)

(U, O, O, O) -- (a, S, 0, rt).-- (Ah Oh Oh Oh,(a, L, o, rt) --- (A, O, O, O) (ah Lh eh rth.

Anmerkung. Um den Werth des anharmonischen Verhältnisses

*) Dieser Zusatz ist für harmonische Elemente von Carnot Irnnsvers. 16,allgemein^ von Möbius barhc. Catc. i96 bewiesen worden.

**) Steiner syst. Entw. 29. 34. Gudermann nied. SPh. 177 ss.