366

Sechstes Buch. Trigonometrie.

Werth dagegen, wenn der eine eingeschlossen, der andere ausgeschlossenist. Es hat den Werth 1, wenn 7) mit 0 in endlicher oder unendlicherFerne zusammenfällt (l). Es hat den Werth — 1, wenn 0 und 7) dieStrecke ^477 der eine innen, der andere außen nach demselben Verhältnißtheilen. In dem letzten Falle heißen die Puncte <7 und 7) den Puncten-4 und 77 harmonisch zugeordnet. Planim. tz. 8, 6.

Das anharmonische Verhältniß von Geraden eines planen Büschels(a, 7, e, ä) hat einen positiven Werth, wenn die Geraden s und el denWinkel «S (und den Scheitelwinkel) beide innen oder beide außen theilen,einen negativen Werth, wenn die eine den Winkel innen, die andereaußen theilt. Es hat den Werth 1, wenn <7 mit e zusammenfällt. Eshat den Werth — 1, wenn c und ck den Winkel aö die eine innen, dieandere außen nach demselben Sinus-Verhältniß theilen. In dem letztenFalle heißt der Büschel harmonisch. Ebenso wird das anharmonischeVerhältniß von Ebenen eines Büschels, von Puncten eines Hauptkreises,von Hauptkreisen eines Büschels beurtheilt.

Wenn das erste Element mit dem dritten und das zweite mit demvierten vertauscht wird, so bleibt der Werth des unharmonischen Ver-hältnisses unverändert.

(O, 7), ^ 77) (.1, 77, <7, 7)),

6^. W ^ ^6 L6 ^ ^46 -47)7)^4 ' 7)77 ' (47- ' 777) " 776 ' S7) ^

Wenn das erste Element mit dem zweiten, oder das dritte mit demvierten vertauscht wird, so erhält das anharmonische Verhältniß denreciproken Werth.

(I, 77, 77, 6) (ch 77, 6, 7)) -- 1,

747) ^16. /-46 -47)'

777) ' S6- (.776'777).

Ebenso findet man überhaupt*)

(^, 77, 6, 7)) (-1, 77, 7), L) ^ (-4, 77, 6, L).

S. Das anharmonische Verhältniß von Puncten einer Geradenist projectivisch (4). Wenn man die Puncte -4, 77, 6, 7) einer Geradenaus einem beliebigen Punct L durch die Geraden a, ä, o, cl auf einebeliebige Gerade der Ebene K-477 projicirt, und die Prosectionen durch-4H 77h 6H 7)" bezeichnet, so hat man (1)

(^, 77, 6, 7)) (a, s, o, ä) ^ (-4H 77h 6H 7)h.**)

*) Möbius baryc. Calc. 184.

") Dieser Fundamcntalsatz steht bereits unter den Lemmen zu Euclid's Poris-men in Pappus Sammlung VII, 12g ss. Bergt. Chasles a. a. O. und Osom.suxör. I'iöl. p. XXI.