tz. 7. Die projectivischen Formeln.
373
Aus der Gleichung (12, III) folgt für 8 Puncte des RaumesSOOS. AI-'O'O -j- AOOO.SOOO -f- AOOS.OOOO-f- ASLO.OSOO -f- ASOO.LSOO ^ 0.
Anmerkung. Die Gleichung (12, I) besteht auch dann, wennan die Stelle der Puncte einer Geraden Gerade gesetzt werden, die miteiner Ebene parallel sind. Demnach ist
(a, S, e, Ä) -j- («, e, ö, Ä) — 1,
sin «ö sin o,? -s- sin öesiiiacl -s- 8inecr8inäÄ — 0.
Vergl. H. 4, 6. Wenn die Geraden cr, L, o, ci einen Punct eines Kreisesgemein haben, und den Kreis außerdem in A, S, <7, O schneiden, soverhalten sich die Sehnen AS, SO, .. wie die Sinus der sie einschließen-den Peripheriewinkel, und man hat
AS.OO SO.AO -i- OA.SO -- 0,wie a. a. O- bewiesen worden ist.
Wenn das Dreieck ASO aus dem beliebigen Punct S durch dieGeraden a, S, o projicirt wird, so hat man tz. 6, 14SASO --- ^SA.SS.SOmllaSo.
Hiernach fließen aus den gefundenen Gleichungen für Dreiecke einerEbene die polhgoniometrischen Relationen für 5 und 6 Gerade desRaumes *)
sillabsNnoae -s- mnäeesinKÄs -s- sin c-as siiiia!« — 0,Mcrbcslvlle/ -s- sinacäsinbs/ -si sin allb sin ce/— 8möecksinae/.
IÄ. I. Wenn die anharmonischen Verhältnisse (A, S, 0, O) und(A', s', <7, O') von Puncten, die je auf einer Geraden liegen, gleicheWerthe haben, und die Geraden AA', SS', 00' einen Punct S gemeinhaben, so bilden AA', SS', 00', SS' einen planen Büschel. Es sinddie anharmonischen Verhältnisse (9)
(AS, SS, OS, OS) (A, S, O, O), (A'S, L'S, O'S, O'S) -- (A', S', 0', O'),mithin (AS, SS, OS, SS) ---- (A'S, S'S, O'S, O'S). Nun fällt AS mitA'S, SS mit S'S, OS mit O'S zusammen, also auch OS mit O'S (1).
Wenn insbesondere (A, S, 0, O) — (A', s', O', O) ist, so bildendie Geraden AA', SS', 00' einen planen Büschel.**) Bezeichnet mandurch S den gemeinschaftlichen Punct der Geraden AA' und SS', so ist(AS, SS, OS, OS) ----- (A'S, S'S, O'S, OS).
*) Die Möglichkeit derartiger Relationen hatPoncelet angedeutet: proxr. xroi.45 und Crelle I. 3 p. 265.
**) Pappus VII, 136 und 142. Steiner syst. Entw. 14 und 31. ChaslesIöorn. 8nx. 38.