§. 7. Die projectivischen Formeln.

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! 4'77 gemein haben, so sind zufolge der perspectivischen Lage die anhar-

i monischen Verhältnisse von Puncten (A, S, 66h 6) und (Ah Sh (76h 6)s einander gleich. Also sind auch die auharmonischen Verhältnisse vonGeraden 736 , S6, 66h 66) und (A'6H S'6H 66h 66) einander gleich.Folglich liegen die gemeinschaftlichen Puncte der Geraden A6 und A'6H66 und S'6 mit 6 auf einer Geraden. U. s. w.

13 . Wenn zwei Tangenten eines Kreises oder einer planen Central-projection des Kreises (einer Linie zweiten Grades) von 4 Tangentenderselben Curve die eine in A,'S, 6, 7), die andere in Ah Sh 6, 7)'geschnitten werden, so sind die anharmonischen Verhältnisse der ent-sprechenden Puncte gleich.*)

Wenn zwei Puncte eines Kreises oder einer planen Centralprojec-tion des Kreises mit 4 Puncten derselben Curve der eine durch dieGeraden a, S, o, <7, der andere durch die Geraden ah Sh eh <7' ver-bunden werden, so sind die anharmonischen Verhältnisse der entsprechen-den Geraden gleich.

Beweis. Bezeichnet man das Centrumdes Kreises durch 47, so sind die Winkel 2A47AH2S47SH 26476h 204/7)' von derselben Größe(Planim. ß. 6, 13). Wird die Figur 47AS67)in ihrer Ebene um den Punct 4/ gedreht, bis.1 auf die Gerade 464' fällt, so fallen S, 6,

7) auf die Geraden 47SH 476h 477)'. Daherist (A, S, 6, 7)) — (Ah Sh 6H 7)') in allenplanen Schnitten eines die gegebene Figur pro-jicirenden Kegels (9).

Andrerseits sind die Winkel 2aah 2SSH 2ce'

2M' von derselben Größe, wenn ihre Scheitelauf einem Kreise liegen (Planim. Z. 4, 2).

Dreht man die Figur aSc<7 in ihrer Ebene umden Punct «L, bis die Gerade a mit a' parallel wird, so werden S,o, mit Sh ch <7' parallel. Daher ist (a, S, o, ch — (ah Sh oh <7') inallen planen Schnitten eines die gegebene Figur projicirenden Kegels.

Umgekehrt schließt man:

Wenn die Puncte A, S, 6, 7) und Ah Sh 6H 7)' auf je einerGeraden derselben Ebene so gegeben sind, daß (A, s, 6,7)) — (Ah Sh 6H7)'),

*) Die Sätze dieses Artikels, welche nebst den daraus abgeleiteten Sätzen auchfür sphärische Projectionen des Kreises gelten, verdankt man Steiner syst. Entw.37 ff.