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Sechstes Buch. Trigonometrie.

so berühren die Geraden AU', 7777, <76", 7)7)' eine bestimmte von ASund A'L' berührte Linie zweiten Grades.

Wenn auf einer Ebene die Geraden a, S, e, -7 und »', S', «', ck'je einen Büschel bilden, so daß (a, S, e, ck) — («', S', <7, ck'), so liegen diePuncte aa', SS', oe', ckc7' auf einer bestimmten durch die Puncte aS unda'S' gehenden Linie zweiten Grades.

Beweis. Werden zwei Tangenten einer Curve der angegebenenArt von 3 Tangenten derselben Curve in U, S, (7 und A', 7>", 6', voneiner andern Geraden in 77 und 77' so geschnitten, daß (A, 7), (7, /))

— (A', 7?', 6", 77') ist, so ist 7)7)' eine Tangente derselben Curve. Würdedie Curve nicht von 7)7)', sondern von 7)L' berührt, so wäre (A, S, (7,7))

— (A', S', 77', L') verschieden von (A', L', t7', 7)'). U. s. w.

Anmerkung. Der bewiesene Doppelsatz kaun mit Vortheil auchausgedrückt werden wie folgt:

Durch dieselben 4 Tangenten einer Linie zweiten Grades werdenauf allen andern Tangente» derselben Linie gleiche anharmonische Ver-hältnisse von Puncten bestimmt, z. B. (A, 7), (7,77) ----- (A', 7)', 77', 77') ^ ...Unter dem a »harmonischen Verhält» iß von 4 Tangenten einerLinie zweiten Grades wird das anharmonische Verhältniß vonPuncten verstanden, die durch die gegebenen Tangenten auf einer belie-bigen andern Tangente bestimmt werden.

Durch dieselben 4 Puncte einer Linie zweiten Grades werden mitallen andern Puncten derselben Linie gleiche anharmonische Verhältnissevon Geraden bestimmt, z. B. (AL, 77 L, 6'L, 77L) ----- (AL', 77L', 7777', 7)77",— ... Unter dem unharmonischen Verhältniß von 4 Puncteneiner Linie zweiten Grades wird das anharmonische Verhältnißvon Geraden verstanden, welche die gegebenen Punctemit einem beliebigen Punct der Curve verbinden.

Bier Tangenten einer Linie zweiten Gradesoder vier Puncte derselben sind demnach harmo-nisch, wenn ihr anharmonisches Verhältniß denWerth — 1 hat.

Das anharmonische Verhältniß von 4 Tan-genten einer Linie zweiten Grades hat denselben'Werth als das anharmonische Verhältniß ihrerBerührungspuncte.*) Wenn A, L, 77, 7), 77Puncte eines Kreises sind, und die durch 77 gehendeTangente von den durch A, L, 77, 7) gehenden Tangenten in A', S', 77',

') Steiner syst. Entw. 43. Chasles Aeom. snxsr. 663. Bergt, unten (23).