K. 7. Die projectivischen Formeln.

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Durchschnitte der gegenüberliegenden Seltenes und 7)77, 7i(7 und 777',(77) und 7^1 auf einer (Pascal'schen) Geraden.*)

Wenn das Sechseck «Lecke/ einem Kreise (einer planen oder Man-schen Linie zweiten Grades) umgeschrieben ist, so gehn die Geraden,welche die gegenüberliegenden Eckpuncte «L und cke, öe und s/ eck und/« verbinden, durch einen (Brianchon'schen) Punct.**'

Beweis. Die anharmonischen Verhältnisse vonGeraden

)7'(7, 7-'7), 7'77, ^-1) und (S(7, SO, LL, SA)haben denselben Werth, nämlich den Werth des an-harmonischen Verhältnisses von 4 bestimmten Punc-ten einer Linie zweiten Grades (15, Anm.). DieBüschel von Geraden bestimmen, der eine auf der Geraden 07), derandere auf der Geraden 7)77, die gleichen anharmonischen Verhältnissevon Puncten (9)

(O, 7), T'L, 7U und (LO, 7), 77, 77U).

Daher (14) gehn durch einen Punct

die Gerade, welche <7 mit dem gemeinschaftlichen Punct der Ge-raden so und 7)L verbindet, d. i. 7)0,

die Gerade, welche den gemeinschaftlichen Punct der Geraden (77)und 7 -/- mit L verbindet, d. i. LS',

die Gerade, welche den gemeinschaftlichen Punct der Geraden (77)und 7-74 mit dem gemeinschaftlichen Punct der Geraden AS und 7)77verbindet. Also enthält die dritte Gerade den gemeinschaftlichen Punctder beiden ersten.

Der Beweis des zugeordneten Satzes wird ebenso mit gegenseitigerVertauschung von Geraden und Puncten geführt.

Umgekehrt schließt man: Wenn ein Sechseck eine Pascal'sche Ge-rade oder einen Brianchon'schen Punct hat, so ist es einer bestimmtenLinie zweiten Grades ein- oder umgeschrieben.

Anmerkung. Durch 6 Puncte oder Tangenten einer Linie zweitenGrades werden mehrere Pascal'sche Gerade oder Brianchon'sche Punctebestimmt, die wiederum besondere Eigenschaften haben.***?

18 . Die in (17) bewiesenen Sätze gelten auch dann noch, wennau die Stelle der Linie zweiten Grades zwei Gerade oder Puncte treten.

*) Pascal Dssnl xour los oonignes, Isinins 1. Dieses Sechseck wird vonPascal Iiexs^rnininnin in^stisnin.genannt. Osnvrss sä. IHinrs II g. 639.

Brianchon (1806) I. äs l'sto. xolzck. Oa.ii. 13 x. 301.

***) Dieselben sind von Steiner (syst. Entw. x. 311) angegeben worden. Vgl.Plannn, tz. 4, 8. Crelle I. 5 x. 268. 41 x. 269 und 66. 58 x. 174.