8. 7. Die projectivischen Formeln.
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2t. Wenn einer Linie zweiten Grades die Figuren .. und.. so eingeschrieben sind, daß die Geraden welche
die entsprechenden Puncte und .. verbinden, durch einen PunctF gehn, so liegen die gemeinschaftlichen Puncte der entsprechenden Geradenund ^1L' und .. und der Tangenten an entsprechen-
den Puncten auf einer Geraden Jedes Paar entsprechender Puncteist dem Punct S und der Geraden § harmonisch zugeordnet. Die Ge-rade « heißt die «.harmonische, reciproke) Polare des Punctes Sin Bezug auf die Linie zweiten Grades.
Wenn einer Linie zweiten Grades die Figuren «S .. und aV.. soumgeschrieben sind, daß die Puncte «ach LS', welche die entsprechen-den Gerade» a und ach .. gemein haben, auf einer Geraden § liegen,so gehn die Geraden, welche die entsprechenden Puncte aö undaS' und .. und die Beriihrnngspuncte von entsprechenden Tangentenverbinden, durch einen Punct F. Jedes Paar entsprechender Tangentenist der Geraden § und dem Punct »8harmonisch zugeordnet. Der Punct Sheißt der (harmonische, reciproke) Polder Geraden s in Bezug auf dieLinie zweiten Grades.*)
Beweis. Ist das Sechseck^1716^^61einer Linie zweiten Grades beliebig ein-geschrieben, so liegen nach Pascal's Theo-rem (17) die gemeinschaftlichen Puncteder Geraden
-171 und -676, 716" und S'6) <6-6 und 671; auch dann auf einer Geraden, wenn <6
! mit -1H 6 mit -1, folglich 6"^6 mit der
Tangente ach 671 mit der Tangente a der§ Curve zusammenfällt. Bezeichnet man! also die gemeinschaftlichen Puncte von
i -1-6 und L76, -171 und -l'TIH -171^ und
! -1V1, a und 6 durch ,8, 7', 7/, 6, so
I-
*) Die harmonische Theilung von -1-6 durch K und s war den griechischens Gcoinetern bekannt: Apollo nius 6onieu III, 37 Pappus VII, 161. Bergt.: Planim. §. II, 5 und Stereom. §. 5, 12. Der obige Satz wurde vollständiger
f ergründet durch Lahire «8eo1. oon.) und Maclaurin (äs lin §oo»r. xroxr. II,
Anhang der Algebra). Vergl. Poncelct proxr. xros. 186. ,194. Die weitereBedeutung des Satzes ist besonders von Brianchon I. äs I'Le. xohä. 6nlr. 13p. 297 erkannt worden. Vergl. Chasles tlp. tust. x. 397 d. Uebers. Steinersyst. Entw. 44. Chasles 6som. sux. 675 ff. und die Anm. zu Stereom. Z. 1, 9.