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Sechstes Buch. Trigonometrie.
liegen 7', c/, ^ auf einer Geraden. Nun bilden die Geraden ASA'L'H 7'A, 7'S einen harmonischen Büschel (11), daher ist auch (9)
(N, Ah S, 7'S) - - 1,
(Alh A^, Sbh c/b-) ----- 1.
Zieht man ferner durch S eine Gerade, welche die Curve in <7 und (7schneidet, und bezeichnet den gemeinschaftlichen Punct der Geraden A<7und A'(7 durch 11h so hat man
(Alh A'lh Slh ll^l^) — 1,woraus folgt, daß ll' auf der Geraden k/b' liegt, u. s. w.
Der zugeordnete Satz wird ebenso bewiesen.
Anmerkung. Wenn die Paare von entsprechenden Puncten Aund Ah S und 7", <7 und (7 einer Linie zweiten Grades so liegen, daßdie Geraden AAH 7>'SH <7(7 durch einen Punct S gehn, so bilden sieeine Involution (19, Anm.). Und wenn die Paare von entsprechendenTangenten a und ah ö und dh e und c' einer Linie zweiten Gradesso liegen, daß ihre geiMiischäsklicheii Puncte aah SSH ec' einer Geradens angehören, so bilden sie eine Involution. Denn die gemeinschaftlichenPuncte von AS und A^SH A(7 und A^(7, A6 und A^(7^ liegen auf einerGeraden, der Polare von S. Daher ist (9)
(AAH AS, AOH /1(h — (A'A, A'SH A'O, A'(7H,d. h. das anharmonische Verhältniß der Puncte Ah S, Oh 6 der Liniezweiten Grades ist dem anharmonischeu Verhältniß der entsprechendenPuncte A, Sh <7, 0' gleich u. s. w.
22. Wenn die Gerade § die Polare des Punctes -8 in Bezug aufeine Linie zweiten Grades ist, so ist der Punct S der Pol der Geraden«. Wäre der Punct 7' der Pol von s, so wäre für zwei Tangenten «,ah die mit « denselben Punct gemein haben und die Curve in A undA' berühren,
(A, Ah s, 7H ----- (a, ah s, 7H — 1,folglich (A, Ah S) von — 1 verschieven, gegen die über S gemachteVoraussetzung.
Wenn § die Polare von S ist und mit der Curve den Punct Lgemein hat, so ist die Gerade SL eine Tangente der Curve. Hat dieGerade SS mit der Curve den Punct 77 gemein, so ist(S, 77, §, L) — — 1.
Weil aber 7l auf « liegt, so liegt auch 77 auf s, d. h. L77 verschwindet.Daher ist jede Sehne der Curve die Polare des Punctes, welchen dieTangenten ihrer Endpuncte gemein haben. Insbesondere ist jede Tan-gente die Polare ihres Berührungspunctes.