MÉCANIQUE.
MÉCANIQUE.
dents doivent être symétriques des deux côtés, et afitid’éviter que, par la trop grande courbure, leurs extré-mités ne soit trop affaiblie, il faut donner à la li-gne mn le moins d’inclinaison possible.
Quant à la longueur totale des dents, on la déter-mine facilement en traçant celles- ci dans la position ex-trême où elles doivent agir avant et après la ligne descentres en les coupant suivant des arcs de cercles, con-centriques aux roues, passant par le point de contact.
Il est clair que si l'on rapproche ou recule les deuxaxes o,b, l’un de l’autre, cela ne change rien à la formedes dents, engendrées par la développante des mêmescercles, la tangente et le point de contact seuls chan-gent; le contact ayant toujours lieu suivant la direc-tion de la tangente commune aux deux cercles A*, B’, lapression normale aux courbes en contact aura toujourslieu suivant la direction de cette tangente, elle de-meurera donc constante.
Il n’en est pas de même pour les engrenages à épi-cycloïdes; car alors les moments des forces qui seconduisent, et qui,, par suite, sont égaux, don-nant Pp = P’p’ ; les longueurs p, p*, des momentsn’ont plus, comme dans le cas précédent, toujours desvaleurs constantes, mais des valeurs variables suivantle point de contact ; les pressions vont donc en s’aug-mentant à mesure que le point de contact approchede l’extrémité de la dent.
Lç frottement étant proportionnel à la pression, ilen résulte que les engrenages à développantes s’usentuniformément, tandis que les engrenages à épicy-cloïdes s’usent plus vers l’extrémité de leurs dentsqu’en leur milieu. Les dents des premières conserventdonc toujours leurs formes en s’amincissant, tandis quecelles des secondes se déforment et s’arrondissent versleurs extrémités.
Ces engrenages offrent encore l’avantage précieuxqu’une même roue peut conduire exactement plusieursroues d’engrenage de diamètres différents, pourvuqu’elles aient le même pas.
Construction pratique des dents d'une roue quand leprofil des dents de Vautre roue est donné. Nous donne-rons ici le tracé qu'indique M. Poncelet pour une formequelconque de dents, et qui permet de les obtenir avecfacilité. Il est adopté par plusieurs bons construc-teurs.
Le profil MA (fig. 4566), des dents de la roue 0étant donné, pour construire celui des dents de laroue o, il faut faire rouler le cercle o sur le cercle 0,et de chaque point de contact M’, M”, abaisser une per-pendiculaire M’P, M” P’,sur la courbe MA. Lespieds P, P’, sont des pointsde la courbe M a, profil desdents de la roue o.
Mais, pour faire cetteconstruction, il n’est pasnécessaire de déplacer lecercle o, il suffit de prendresur sa circonférence desarcs M m’, M m”, égauxaux a*cs M M’, MM”, etd’abaisser les normalesm’p, m”p’. Prenant cesnormales égales à celles M’ P, M” P’, pour rayons, ondécrit des points m’, m”, de petits arcs de cercles suffi-samment rapprochés, et l’on'trace la courbe Ma, tan-gente à tous ces cercles, qui est la courbe cherchée.
Cette construction est fondée sur le principe fonda-mental que la normale, au point de contact des dents,passe toujours par le point de contact des circonfé-rences primitives.
Dimensions des dents. Largeur . Autrefois on donnaitaux dents des engrenages une très grande épaisseur
et une largeur (dans le sen9 de l'axe) égale & enviroudenx fois cette épaisseur. Mais on a reconnu que lefrottement absorbait d’autant pins de travail que lecontact avait lieu pins loin de la ligne des centres -,on a donc trouvé avantage à augmenter les largeursdes dents dans le sens de l’axe et à diminuer leur épais-seur. On leur donne en général une largeur égale à4 fois leur épaisseur quand la vitesse n’excède pas4",50 à la circonférence, et 5 fois pour les vitessessupérieures, afin de compenser les effets de l’usure.
Sailtie. On ne donne pas en général à la saillie plusde 4,50 de l’épaisseur de la dent.
Épaisseur . L’épaisseur varie avec la force que l*engrenage doit transmettre, soit P cette force en kil.,6 l’épaisseur de la dent en centimètres, mesurée sur lacirconférence primitive ; on déduit de l’observation de3dimensions adoptées par los meilleurs constructeurs,pour des roues établies d'ailleurs commo il est dit ci-dessus.
Pour les dents en fonte.b =0,405 y^P,
id. 6c bronze ou cuivre 6= 0,434 y'Pl
id. en charme, sorbier 6 = 0,438 V^P.
Frottement . Les circonférences primitives se mou-vant avec une égale vitesse, et les dents des deuxroues n’étant pas égales, il faut nécessairement qu’il yait glissement et frottement entre celles-ci, et par suiterésistance nuisible. Il a paru longtemps impossible deconstruire des engrenages donnant des vitesses angu-laires uniformes et n’ayant qu’un frottement de rou-lement. Le mécanicien Withe construisit, en 4821, desroues dentées auxquelles il attribuait cette propriétésans pouvoir le démontrer. Ce fait repose sur ce que letravail de frottement dans les engrenages est en raisoninverse du nombre de dents, et nul par suite pour unnombre de dents infini. C’est ainsi qu’on peut consi-dérer les engrenages à denteurs héliçoïdales.
Considérons (fig. 4567 et 4568) les denx cylindresqui ont pour base les deux circonférences primitives
4567.
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et pour axes les arbres à conduire. Si on suppose lesdeux cylindres développés successivement sur un plantangent passant par leur arête de contact, et une ligneinclinée tracée sur ce plan,en reformant les cylin-dres, cette ligne formerasur chacun une hélice ; etqnand ils rouleront l’unsur l’autre, les parties cor-respondantes de ces hélicesviendront successivementen contact. Si donc celles-ci sont saillantes, ou, pourmieux dire, si on arme lesdeux cylindres de dentssaillantes héliçoïdales dontle contact ait lieu suivant ces lignes, elles formerontun engrenage sans frottement de glissement.
On voit que le glissement est évité, puisque le contactqui change de plan à chaque instant a lien sur des lon-gueurs égales. Le tranchant s’émousse avec le temps
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