PERSPECTIVE ISOMETRIQUE

PERSPECTIVE ISOMETRIQUE.

«Soit, maintenant, un cercle de rayon OM (fig. 3), i primitif, et 6i nous considérons en particulier cette

ligne BD, nous savons qu’en se projetant régulière-ment sur un plan quelconque chaque élément linéairede cette droite est modifié de la même manière danssa longueur*, de sorte que si OD est devenu od, lerayon ÔL étant devenu oj, on aura la proportion

que nous supposerons appartenir à un plan isométriquede gauche, à représenter à l’aide de cette double trans-

o J

ol :: od : od.

OL , c’est le rayon du cercle primitif ou r; OD, c’est! la diagonale du carré circonscrit, ou r y'jâ, °d» c’est1 un des côtés du triangle équilatéral odm (il est équi-| latéral, parce que chacun de ses angles est un anglej isométrique de 60°), donc od = om =: r, car om c’est| la représentation isométrique de O M , qui n’a pas changéde valeur.

| « Nous tirons de là :

o d r r

0J ' = 0Lx ÔD= rX 77i = ~7i

Le même raisonnement étant appliqué à oa, on trouveoi : OJ oa : OA.

O J et O A sont connus comme égaux respectivementà O L et à OD ; oa, c’est le côté du triangle rectangleaod, dans lequel oa* = ad 2 — od* = 4r s — r* carad — A D = 2r, d’où oa — r v^3etenfin

formation ; son rayon est r, la figure qu’il faut cons-truire est donc la projection orthogonale d’un cercleplus grand, de rayon R = r */% Traçons les deux dia-mètres M N et R S, l’un vertical et l’autre horizontal,puis construisons le carré circonscrit A B G D.

« D’après ce qui vient d’être dit, nous savons déjà quece carré, s’il existait réellement dans le corps à repré-senter , serait figuré par le parallélogramme abg d ,dans lequel les côtés sont respectivement parallèles àceux du carré isométrique, et qui affecte la dispositionque nous avons reconnue une fois pour toutes au planisométrique de gauche. Les deux diamètres MN et RSseront figurés en mn, rs t et le point O, centre du cercleprimitif, qui se trouvait à la rencontre de ces deux dia-mètres se trouvera en o à la rencontre des isométriquesqui représentent respectivement ces diamètres : lesquatre points m, n, r, s t seront pour la même raisondes points de la perspective isométrique du cercle, etcomme nous savons à priori que la projection obliqued'un cercle est nécessairement une ellipse, le problèmese réduit à construire une ellipse qui passe par cesquatre points et qni soit tangente en chacun d’eux auxlignes isométriques, comme la circonférence du cercle Oétait tangente aux cotés du carré circonscrit.

« La disposition symétriquedes quatre points de con-tact par rapport aux deux droites bd et a g démontred’abord que ces deux droites sont les axes de l'ellipsedont le point o est le centre t es deux lignes, sont lesprojections des deux diagonales BD et AG du carré

oJ = r X V'S:

y/2

a Telles sont les valeurs des deux demi-axes de l’el-lipse isométrique, et il en résulte que les trois demi-diamètres oj, om, o/, sont entre eux comme lesquantités

r o

vf; r ’ r v r

on comme les trois nombres 4, «t /3» environcomme 28 : 40 : 49.

« Nous ne serions pas entrés dans tous ces détails surl’ellipse isométrique si elle ne se présentait toujours lamême pour tous les cercles contenus dans les troisplans, tantôt plus grande, tantôt plus petite, mais tou-jours semblable à elle-même, la proportion entre lestrois diamètres que nous venons d’étudier restant con-stante.

« Voici, au reste, comment on arrive graphiquementà la construire.

« L’excentricité dans une ellipse, ou la dist ance ducentre au foyer, est exprimée par y/ a * — b a et bétant les deux demi-axes. Cette distance est donc ici,en mettant pour ces axes les valeurs que nous venonsde trouver,

Vol* —oj 2 = Vr* - —r 1 îj- — r >

c’est-à-dire que l’excentricité est égale au rayon omet qu’on obtiendra les deux foyers f et f en décrivantdu point o comme centre les deux arcs mf et nf \ lesfoyers étant connus, on déterminera autant do pointsde l’ellipse que l’on voudra: on connaîtra immédiate-ment la longueur du grand axe, qui sera mf-\- mf;les extrémités l et V de cet axe étant ainsi déterminées,les extrémités j et j* du petit axe s’obtiendront par lesisométriques /; et Tj’, car LJ et L’J’ sont parallèlesà RS dans le cercle dont l’ellipse est la projection. -

« Ces huit points de la courbe étant déterminés, sa-voir : les quatre extrémités des axes et les quatre pointsde tangence en m, n, r, s , suffiront presque toujourspour la tracer, et ce ne sera que dans le cas de dimen-sions très grandes qu’il sera nécessaire, à l’aide desfoyers, de déterminer un plus grand nombre de pointsintermédiaires, au moyen de cette propriété que lasommé des rayons vecteurs pour chaque point est égaleà la longueur du grand axe, on bien encore en consi-