H. 13. Theilbarkeit der Zahlen.

83

tz. 13. Theilbarkeit der Zahlen*).

(6>ciS Z. 27 und 28).

1. Wenn der Quotient der (ganzen) Zahlen a und m eine ganze

Zahl ist, wenn also die Division von « durch m aufgeht, so sagt man,« ist theilbar durch m, m geht auf in a, « ist ein Div iduns (Mul-tiplnm, Vielfaches) von »r ist ein Divisor (Theiler, Maßi von a.Alle Zahlen von der Form «rn, welche die Formel umfaßt, wenn

für die Unbestimmte (iixlotWminntn) n beliebige ganze Zahlen gesetztwerden, sind durch M theilbar. Die durch 2 theilbaren Zahlen von derForm 2n heißen gerade st-arss). Die durch 2 nicht theilbaren Zah-len 2wst-l heißen ungerade (imxaros). Lnol. VII. äol. 5 ll.

Wenn « durch „r theilbar, und m durch theilbar ist, so ist aucha durch theilbar. Denn nach Voraussetzung ist a ---- -nrn, „rfolglich a — Und wenn « durch m theilbar und r eine beliebigeZahl ist, so ist auch das Product ar durch m theilbar.

2. Wenn a und i durch „r theilbar, m und beliebige Zahlen

sind, so ist äs? st- durch m theilbar (Luel. V, I). Denn nach der

Voraussetzung ist a —m«, ü —folglich a^st-ö^ — ?»(««? st- ^).

Wenn von den Differenzen « — ö und e — ei jede durch m theil-bar ist, so sind auch

a st^ o — (ö st- ci), ao — ich «- — ist — ist, . .

durch «r theilbar. Denn

a st- e — (b -st st) — (a — i>) -st (o — ei)ao — öst — (« — i?)o st- b(e — st)

äst — — (a — b)(a st- ö)

a» — ö-s (a — S) («2 st- aS st- Sst, u. s. f.

3 . Wenn die Zahl a durch die Zahl b dividirt den Rest e giebt,

wenn wiederum i> durch o dividirt den Rest ei giebt, u. s. f. so bleibtendlich der Rest 0, weil die (ganzen) Zahlen L, o, st, . . eine fallendeReihe bilden, und man hat die Kette von Gleichungen (K. U>, 3)

ee — st- 6ö - - Ac st- st

/ iA st- ieA ---- re/e.

') In diesem der Arithmetik im engeren Sinne (Zahlenlebre) angehvrigen Para-graphen wird unter Zahl immer eine ganze Zahl verstanden.

6