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! 8 13. Theilbarkeit der Zahlen. 85

! er und s bezeichnet wird. Ist nämlich ----- -/?, und aL durch

^ S theilbar, so ist auch «I- durch ^ theilbar; nun ist « prim zu jZ (3),i folglich L durch jS theilbar (4), d. h. b ^ ^ »L -----

Die gemeinschaftlichen Dividuen von a, -, o sind von der Formö 6

wenn durch ^ der größte gemeinschaftliche Divisor von

und o bezeichnet wird. U. s. w.

Der kleinste gemeinschaftliche Dividuus von « und S istdarnach der kleinste gemeinschaftliche Dividuus von a, S, e ist

! z o

j , u. s. w. Der kleinste gemeinschaftliche Dividuus der relativen

Primzahlen « und S ist «S. Und wenn eine Zahl durch die relativenPrimzahlen « und S theilbar ist, so ist sie durch das Product derselben

theilbar. Lad. VII, 36 S)

i

^ 8 . Umgekehrt schließt man: wenn a und b einzeln prim zu S sind,

^ so ist auch das Product ab prim zu -. Denn ein gemeinschaftlicherj Divisor von ab und - würde in b aufgehn (4), also wäre L nicht primzu - gegen die Voraussetzung. Lud. VII, 26 tk.

Potenzen relativer Primzahlen sind relative Primzahlen. Wenn« prim zu S, so ist aa prim zu -, und a prim zu Ebenso schließtman, daß «2 prim zu - 2 , -s, u. s. w.

7 . Eine Zahl, welche durch andere Zahlen außer 1 nicht theilbarist, heißt eine Primzahl (nuivoras primus). Jede Zahl ist entwedereine Primzahl oder durch Primzahlen theilbar. Lad. VII 34.

Beweis. Wenn a keine Primzahl, sondern durch - theilbar ist,so ist - entweder eine Primzahl oder durch o theilbar, ferner 0 entwe-der eine Primzahl oder durch Ä theilbar, u. s. f. Die Zahlen S, 0 , ch. . bilden eine fallende Reihe, welche deshalb nur eine endliche Anzahlvon Gliedern haben kann und mit einer Primzahl schließt, durch welchejede der vorangehenden Zahlen, also auch a theilbar ist (1).

!' Anmerkung. Es ist zweckmäßig, die Zahl 1 nicht zu den Prim-

zahlen zu rechnen. Dann sind je zwei Primzahlen ohne Ausnahmepriri zu einander. Die einzige gerade Primzahl ist 2. Wenn die Zahla zwischen 7-2 und (r -st 1)2 liegt, und durch die Primzahlen, welchekleirer als sind, nicht theilbar ist, so ist sie eine Primzahl. Gesetzt« näre durch die Primzahl -st § theilbar, so wäre « — (r- -stdurch L theilbar. Nun ist