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Allgemeine Arithmetik.

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d. h. entweder eine Primzahl, dienicht übersteigt, oder durch einesolche theilbar. Also wäre a durch eine Primzahl unter ^ theilbar, ge-gen die Voraussetzung; folglich kann er durch eine Primzahl übernicht theilbar sein.

8. Die natürliche Zahlenreihe enthält unendlich viel Primzahlen.Luol. IX, 20 .

Beweis. Bedeutet 7> die höchste bekannte Primzahl, X das Pro-dukt der bekannten Primzahlen 2 , 3 , 5 >, 7 , . . , 7-, so ist A -4 1 ent-weder eine Primzahl über x oder durch eine Primzahl über 7, theilbar.Denn X ist durch jede der Primzahlen von 2 bis 71 theilbar; X -j- 1ist prim zu U ( 3 ), mithin durch keine der Primzahlen von 2 bis 71theilbar. Wenn nun X -s- 1 eine Primzahl nicht ist, so ist sie durcheine Primzahl theilbar, welche übersteigt. Demnach ist keine gegebenePrimzahl die letzte Primzahl in der Reibe der natürlichen Zahlen.

Anmerkung. Für die Aufeinanderfolge der Primzahlen ist einallgemeines Gesetz nicht bekannt. Es giebt kein aus Potenzen einer Un-bestimmten gebildetes Polhnominm, das nur Primzahlen umfaßte. Wennz. B. a 4 Sm -4 om'- für — m eine Primzahl 71 ergiebt, so hatfür m m -j- dieselbe Formel den Werth

» -4 -4 -4 e(m -4 ^)2

^ a -4 dnr < c-»2 K7-7, -si -4 07)2^2

^ ? -4 (ö < 2em)^r, -4 « 7-^4

der durch 7, theilbar, also keine Primzahl ist (Usxsiiclro l'llvorio äo8nombros, Iiitroä. 20).

s Eine Zahl, welche durch andere Zahlen außer 1 theilbar ist,kann als Product von bestimmten Primzahlen (einfachen Factoren) dar-gestellt werden und heißt zusammengesetzt aus diesen Primzahlen.Die allgemeine Formel einer aus den Primzahlen K, S, e, . . zusam-mengesetzten Zahl ist . . .

Eine aus den Primzahlen », o, . . zusammengesetzte Zahl istdurch eine andere Primzahl 72 nicht theilbar, mithin aus andern Prim-zahlen nicht zusammensetzbar. Denn jede der Zahlen a, b, e, . . istprim zu 7), folglich ist auch das Product . . prim zu 71 (6).

10 . Wenn die Zusammensetzung gegebener Zahlen aus Primzah-len bekannt ist, so läßt sich ohne Weiteres erkennen, ob eine der Zahlendurch eine andere theilbar ist, welches ihr kleinster gemeinschaftlicherDividuus ist, welches ihr größter gemeinschaftlicher Divisor ist, ob die-selben Potenzen sind.