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Allgemeine Arithmetik.

sind sie auch nach jedem Divisor von b kongruent. Wenn zwei Zah-len nach den Moduln L, r, m, . . congruent sind, so sind sie auch nachdem kleinsten gemeinschaftlichen Dividuus der Moduln congruent (5).Denn nach der Voraussetzung geht K in der Differenz der beiden Zah-len auf, folglich u. s. w.

II. Wenn nach einem Modul die Zahlen a und ä, m und n con-gruent sind, so sind auch die Summen oder Differenzen a -si ,» undL -l- n, die Produkte am und i», die Potenzen und nach demsel-ben Modul congruent. Denn nach der Voraussetzung geht der Modulsowohl in a — i, als auch in m — -r auf, folglich n. s. w. (2).

Wenn überhaupt nach einem Modul die Zahlen n und undLg, und L,, «., und t -2 , . . congruent sind, so sind auch die Poly-nomien -st st- -s- . . und So -st -s- - 2 -/^ st- . . nachdemselben Modul congruent.

III. Aus der Congruenz der Vielfachen E und öm nach demModul ^ folgt die Congruenz der Zahlen « und b (nicht nach dem Mo-dul L, sondern nur) nach dem Modul ^, wenn durch ä der größte ge-meinschaftliche Divisor von m und K bezeichnet wird. Denn nach derVoraussetzung ist m(a — L) durch L theilbar, also auch ^ (»— S) durch

^ theilbar; nun ist prim zu folglich n—ö durchs theilbar (4).

Aus 27 ^ 12, iru>6 5 schließt man 9^4, moä 5.

Aus 129 ^ 84, moll 18 schließt man 10 ^ 7, iuc>c1 3.

19. Alle Zahlen werden nach dem Modul K in k Classen so ge-theilt, daß die Zahlen einer Classe mit 0, die Zahlen einer andern

Classe mit I, u. s. w., die Zahlen der letzten Classe mit — 1 nachdem Modul k congruiren. Zahlen einer Classe sind congruent, Zahlenverschiedener Classen sind incongruent nach dem angenommenen Modul' >7). Wählt man aus jeder Classe eine Zahl nach Belieben aus, sohat man ein vollständiges System nach dem Modul b inkon-gruenter Zahlen, wie es z. B. je k folgende Zahlen c, e -j- 1,e -si 2, . . , o si- L — 1 bilden.

Wenn die Zahlen a- 2 ' - - , ^ nach dem Modul L incongruent

sind und ö prim zu L, so bilden die Zahlen » -j- ö-v,, a -st S^,. . ,

a si- wiederum ein vollständiges System inkongruenter Zahlen.

Wären und a-j-congruent nach dem Modul so wäre

ihre Differenz S(-r, — a- 2 ) durch L theilbar; nun ist S prim zu L, alsoWäre — Nz durch L theilbar (4), mithin ^ mocl. L gegendie Voraussetzung.