s 13. Theilbarkeil der Zahlen.

93

übereilt. Die erste Reihe hat den Werth

1 -si (a — 1) -j- a(« — 1) -s- . . -s- — 1)

--- 1 -i- (a — 1)(1 si- a -si . . -s--- 1 ff- (a« — 1) a«.

Die zweite und dritte Reihe haben die Werthe und o/. Daher istdie Summe aller Werthe von P(S) d. i. das Product der Reihen ^— ?/!.

Beispiel. Die Zahl 60 hat die Divisoren I, 2, 3, 4, 5, 6,

10, 12, 15, 20, 30, 60.

P (>1

-p(2)

<x(3)

y-(4) 2

<x(5)

y>(6)

P(10)

P(12)

Die Summe dieser Anzahlen ist 60.

>x(15) 8

<x(20) ! 8

go(30) ! 8

y)(60) ! 16

17. Jede Zahl a kann durch ein Vielfaches einer gegebenen po-sitiven Zahl L und durch eine Zahl /- der Reihe 0, 1, 2, . . , L — 1ohne Ausnahme und auf eine Weise so dargestellt werden, daß a ^

-s- Wäre zugleich a — /L -t- so wäre- (s' — s)Ldurch b theilbar gegen die über und gemachte Voraussetzung.

Zufolge dieser Darstellung der Zahl « heißt ^ der Rest von «nach dem Modulus L. Wenn nun zwei Zahlen « und d nach demModul L denselben Rest haben oder nicht, so werden sie congruentoder iucongruent nach dem Modul L genannt. Um die Congruenzder Zahlen a und ö nach dem Modul L auszudrücken, schreibt man*)

a ^ b, moä ib.

Z. B. 32 17, ruoä 5, weil 32 und 17 nach dem Modul 5 densel-

ben Rest 2 haben; 23 ^ — 17, mock 8, weil 23 und — 17 nachdem Modul 8 denselben Rest 7 haben. Die nach dem Modul L mitL congruenten Zahlen sind von der Form ä -j- L

Die Differenz der nach dem Modul 1' congruenten Zahlen a und Sist von der Form tk d. h. durch den Modul der Congruenz theilbar.Ein gemeinschaftlicher Divisor von « und 4- geht auch in ä auf; dergrößte gemeinschaftliche Divisor von a und K ist zugleich der größte ge-meinschaftliche Divisor von L und L.

Umgekehrt schließt man, daß die Zahlen a und L nach dem ModulL congruent oder incongruent sind, je nachdem ihre Differenz durch Ltheilbar over nicht theilbar ist.

18. I. Wenn zwei Zahlen nach dem Modul ^ congruent sind, so

*1 Gauß lliscl. arltbiv. I fs. Bergt. Dirichlet Zahlentheorie Z. 17.