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Allgemeine Arithmetik.

Nach dem Modul 5 hat 3^ den Rest 1, nach dem Modul 37 hat5^ den Rest t. Nach dem Modul 7 hat nicht nur 2^, sondern auchschon 2^ den Rest l; nach dem Modul 13 hat 5'^ aber auch schon 5^den Rest I. Weil go(15) 8, so ist 2- ^ 1, woll. 15; es hat aber

auch schon 2^ nach dem Modul 15 den Rest 1.

Beweis. Wenn «, 2a, 3a, . . nach dem Modul die Reste^1, ^2, ^3' - - haben, so sind die Producte 1.2.3 ... (7, — 1)avund , . 2-x-i congruent (18). Weil a prim zu -i, so sind die

Reste r-,, ,»2, . . von 0 verschieden und inkongruent (19), mithin Zahlender Reihe 1, 2, — 1, so daß ihr Product den Werth 1.2.3

...<> — 1) hat. Dieser Werth ist prim zu folglich (18, 111) ^

^ 1, woll. A. Die Congruenz av ^ a, woll. findet auch dann nochstatt, wenn « durch x theilbar ist.

Wenn der Modul die zusammengesetzte Zahl 1- ist, und die Zahlender Reihe 1, 2, . . , 1-, welche prim zu L sind und deren es q>(1) giebt,durch - - bezeichnet werden, wenn ferner die Zahlen ab,, a^, akz,

. . nach dem Modul d die Reste ,q, ?-z, . . haben, so ergiebt sich

wiederum durch Multiplieation

. . ' - >',>'2^3 - ' ' woll

Nach der.Voraussetzung sind a und 1- relative Primzahlen, L,, z?2, L.,,. . incongruente Zahlen, also sind auch , ,'2, ?-g, . . incongruent, von0 verschieden und prim zu 1-, mithin Zahlen der Reihe Lj, Lg,. . ,so daß ^ , u. s. w.

22. Alle durch 1- nicht theilbareu Quadrate sind nach dem Mo-dul 1' mit gewissen Zahlen der Reihe 1, 2, . . , 1- — 1 congruent,niit den übrigen nicht. Die erster» Zahlen lund die mit ihnen kon-gruenten Zahlen) heißen die quadratischen Reste von b, die übri-gen heißen die quadratischen Nicht-Reste von 1-.') WeilsL^m)?— -r? durch 1' theilbar ist, so ist

(ch n)2 ^ 3: 2, Moll 1'

und man braucht, um die Reste aller Quadrate nach dem Modul Ld. h. alle quadratischen Reste von 1- zu finden, nur die Reste der Qua-drate von 1, 2, . . , — 1) oder je nachdem 1- ungerade oder

gerade, aufzusuchen. Der Charakter einer Zahl wird dadurch be-stimmt, daß man entscheidet, ob sie zu den (quadratischen) Resten oderNichtresten von k gehört.

Da (a -j- 1)2 — «2 -j- (2a 1) ist, so kann man die Quadrate

*) Diese für die Arithmetik wichtige Unterscheidung ist von Euter (OMso.nnsl. I p. 283) gemacht worden. Vergl. Gauß Oisq. uritüm. 94 fs. DirichletZahlentheorie H. 32 ff.