tz. 13. Theilbarkeit der Zahlen.
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von 1,2,3,.. durch Addition der ungeraden Zahlen bilden, 2^1^Z-3,32 ^ 22 -s- 5, u. s. w., und die folgenden Reste aus dem jedesmalvorhergehenden Rest, indem man zu ihm eine ungerade Zahl addirt, ab-leiten. Z. B. nach dem Modul 13 sind 1 ?, 2^, 32 , 42 , 52 , 6^ derReihe nach congruent mit 1, 1 3, 4 -j- 5, 9 -s- 7 ^ 3, 3 -j- 9,12 -h- 11 ^ 10; alle Quadrate, in denen 13 nicht aufgeht, congruirennach dem Modul 13 mit einer der Zahlen 1, 3, 4, 9, 10, 12, welchedie (quadratischen) Reste von 13 heißen, während 2, 5, 6, 7, 8, 11die Nichtreste von 13 sind.
14 hat die Reste
g
1
5
4
7
9
s
2
ii
11
13
8
7
Nichtreste
3
5
6
10
12
13
15 hat die Reste
s
1
s
4
7
9
s
1
1110
18
6
4
Nichtreste
2
3
5
7
8
11
12
13
17 hat die Reste
3
1
s
4
7
9
s
16
11
8
1 3
2
15
15
13
Nichtreste
3
5
6
7
10
11
12
14
Wenn x eine ungerade Primzahl ist, und wenn « und ö Zahlender Reihe 1 , 2, . . , ^ — 1 ) bedeuten, so sind «2 und ö? nach demModul 4 , incongruent; wäre «2 — zr — (g. S)(a — z) durch xtheilbar, so müßte, weil » — L prim zu ^ ist, a -j- S durch theilbarsein, gegen die über a und L gemachte Voraussetzung. Daher giebt esnicht weniger als ^(-, — 1) quadratische Reste von ^>.
23 . Wenn ^ eine Primzahl und « durch nicht theilbar ist, sokönnen die Zahlen 1 , 2 , . . , ^ — 1 so gepaart werden, daß die ausden einzelnen Paaren gebildeten Producte nach dem Moduls mit -rcongruiren. Wenn insbesondere « ein quadratischer Rest von ist, sogiebt es in der Reihe 1 , 2 , .., ^ 1 zwei zu sich ergänzende Zah-
len, welche mit sich selbst Paare von der angegebenen Art bilden*).
Beispiel. Die quadratischen Reste von 7 sind 1 , 2 , 4; dahergehört 12 zu den Nichtresten, 9 zu den Resten. Aus den Zahlen 1 bis6 lassen sich 3 Paare bilden, so daß die aus den Paaren gebildeten Pro-ducte nach dem Modul 7 mit 12 congruiren, und 4 Paare, so daß dieProducte mit 9 congruiren. In der That sind nach dem Modul 71.5^2. 6^3. 4^ 12,
1.2^3. 3^4. 4^5. 6 ^ 9.
Beweis. Wenn m eine der Zahlen 1 , 2 , . . ,/> — 1 bedeutet,also prim zu x ist, so haben die Zahlen m, 2 m, . . , (^ — 1 )m nachdem Modul 7 , verschiedene Reste aus der Reihe 1 , 2 ,.., 7 , — 1 (19).
*) Diesen Satz und die Beweise der folgenden Sätze verdankt man DirichletLrelle I. 3 x. 3S0.
Baltzer. I. 2. Aust.
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