Z. 23. Potenzen der Binomien mit positiven ganzen Exponenten. 1ZZ

für jede positive ganze Zahl m*).

Anmerkung. Wenn man 27 mit —27 vertauscht, so bleiben. . unverändert, während 27b, 27^ in —^—27^,.. übergehen.Daher ist

Wenn m , so ist (1)

<2

(er -j- — er»> -s- ^ ^ ^ ^ ( 2 ) ^ ^ ^ ( 1) -s- ö",

weil'

2 z 2 , ^ s.

Hm—tz

3 . Wenn m ein echter Bruch ist, so wird in der für (1 ->-27)-°gefundenen Reihe von einem bestimmten Gliede an jedes Glied kleinerals das ihm vorausgehende. Denn das Verhältniß des (L -s- 2 )ten Glie-des zum (L -s- 1)ten ist

^-s -1

27^1

M-L

27 < 1 ,

sobald L eine bestimmte Grenze überschreitet. Der Fehler, welchen manbegeht, indem man von einem bestimmten Gliede an die folgenden Glie-der vernachlässigt, läßt sich in jedem gegebenen Falle abschätzen. Setztman z. B.

(1 -s- 2-)"° — 1 -s- M27,

so ist der Fehler

2

m —2

27 -s-

M—2 m—3^ 4 "

*) Die hier angewandte Methode der Jnduction (Ableitung einer allgemeinenRegel aus einem besondern Falle) ist von Jac. Bernoulli (^.ctg, Lrnä. 1686 x.36») angegeben worden, und heißt der Schluß von m auf m-s-1.