8. 25. Variationen und Combinationen gegebener Elemente. 141
-r-j-I:—1
^ Combinationen Lter Classe.
Beweis. Um aus den Variationen Lter Classe die Variationen( 1 - - 4 - 1 )ter Classe zu bilden, setze man zu jeder Variation jedes Ele-ment. Man erhält also »mal soviel Variationen (L i)ter Classe alstter Classe. Nun giebt es n Variationen Iter Classe, folglich giebt esn? Variationen 2ter Classe, Variationen 3ter Classe u. s. w.
Um aus den Combinationen bter Classe von der geforderten Artdie Combinationen (h -s- 1 )ter Classe zu bilden, setze man zu I dieCombinationen Kter Classe aller Elemente; zu 2 die CombinationenIter Classe der Elemente 2 bis n; zu 3 die Combinationen Iter Classeder Elemente 3 bis n; zu 4 die Combinationen Iter Classe der Ele-
m-s^I—1
Combinationen Iter
mente4 bis n, u. s. w. Gesetzt, es gäbe
/7t 4^1—2
Classe von m Elementen, folglich ^ ^ ^ Combinationen der Ele-mente 2 bis n, ^ j Combinationen der Elemente 3 bis n, u.s.w.
so gäbe es
Combinationen (I 4 - 1 )ter Classe aller Elemente (5). Nun giebt es ^
Combinationen Iter Classe aller Elemente, folglich giebt es
j Combinationen 2ter Classe,Combinationen 3ter Classe, u. s. f.
Anmerkung. Die Anfänge der Combinatorik finden sich im löten Jahrhun-dert bei Buckley, Cardano u. A. Die erste größere Abhandlung über Combina-tionen hat Pascal um 1650 verfaßt, in der er mit Fermat zusammentreffend den Zu-sammenhang der Combinationszahlen mit den figurirten Zahlen erläuterte (Oeuvreseä. Iiuburs II. x. 423 ff.) Leibniz's Abhandlung äs arte oombiirutoris, 1666enthält nicht sowohl theoretisch Neues als vielmehr Anwendungen der Lehre vonden Permutationen und Combinationen. Der heutige Bestand der Combinatorikfindet sich vollständig in Jacob Bernoulli's urs eonseotuiräi (ox. ziostli. 1713).In diesem Buche kommt der Name Permutationen vor, wosür Leibniz Variationen,Wa llis Alternationen gebraucht hatte. Der Name Complexionen bedeutet bei Leib-niz Combinationen; der Name Variationen hat seine combinatorische Bedeutung ge-gen das Ende des listen Jahrhunderts erhalten.