150

Allgemeine Arithmetik.

si- 5«o^

2)4 -j- 5«g

-f- 5ao^«s

20«o «z

20«o

20«o^«l^az

10«o ^«2 ^

20»g ^«2 «g

20«g ^«2

30«o ^«2

30«g

l OSg^Kz ^

5«g«^ ^

30«g «2 2

30«o

20«g«i ^«2

60a„ «2 «2

lOag^li

20«g«,

30«ga^ ^« 2 ^

5a^ ^«2

4. Wenn man in der Reihe der Größen »i, a^, . . , a, j.edeGröße von allen folgenden subtrahirt, so erhält man Differenzen,deren Product sich auf eine Determinante reducirt, nämlich*)

(«2 "

- «l)(»z — «t) .

— «l)

1

«I

«I

(Kz — Kz) -

-(«n

— «2- _

1

«2

«2

— a^.i)

1

Beweis. Sind r, k beliebige Zahlen aus der Reihe 1,2,..,n, und zwar -<L; ist ^ das gesuchte Product, 6 das Product derDifferenzen, welche die Größen «. und nicht enthalten, K das Pro-duct der Differenzen, welche die Größe aber nicht enthalten, ö>'das Product der Differenzen, welche die Größe a^, aber nicht ent-halten, so ist ^ — «.). Wenn nun mit vertauscht

wird, so bleibt (2 unverändert; L-8 bleibt unverändert, weil das Pro-duct jedes Paares wie — «,) («d — oder («, — ad)(«d —oder (a, — a^)(cr^ — «^) unverändert bleibt; — «. aber erhält denentgegengesetzten Werth; demnach erhält 1° den entgegengesetzten Werth.

In kommt zunächst als Product aller Minuenden das Gliedvor. Ferner kommt jedes Glied, welches aus"c -2 "«., ^ durch Vertauschung der Indices sich bilden läßt,

als Product aller Minuenden in einem Product vor, das den Werthoder — hat, je nachdem die Permutation der Indices zu den ge-raden oder ungeraden Permutationen gehört. Daher umfaßt ^ alleGlieder, welche aus 'a.g - . . durch Vertauschung der In-dices abgeleitet werden können, und zwar positiv oder negativ, je nach-dem die Permutationen der Indices gerade oder ungerade sind; mit-hin enthält 1" alle Glieder der obigen Determinante (tz. 26, 1).

*) Cauchy's Lehrsatz. Vergl. des Vers. Determ. tz. 10.