§. 30. Die Kettenbrüche.

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r«. — — l^r«

folgen die Relationen

r«i ^ ----- (l^j —

^>4-4 ^ l^I^i ^!^-l)^I

also (4)

t^l^i — ttj»i41 ^ ?4.. pi".

Eine ähnliche Relation besteht zwischen 3 beliebigen Größen « und kannaus dem System

abgeleitet werden.

8 . Aus den gefundenen Werthen (4) ergiebt sich

^14-1 ^i-4 _ ,

^ 14 1 s^i4l

Wenn nun die Zahlen ^ 2 , ?z, > - negativ und die Zahlen s Positiv sind,so wird >- — ?, (3) d. h. die Differenzen der folgenden

Brüche ^ bilden eine fallende Reihe mit abwechselnden Zeichen.

Nun ist ^

1g 12 ?I^2

negativ, folglich

^2 <^2^z

1.

t-2

t<-z

>

I4

^ >

^3

^4

>

>

>

^4

<

<

17

<

^7

>

7 . Wenn die Zahlen x Einheiten und die Zahlen ^ ganze Zahlensind, so sind 1, und ^ relative Primzahlen. Denn ihr größter gemein-schaftlicher Divisor geht in 1^^ — 1^^ auf, und kann demnach (4)eine Einheit nicht übersteigen.

Wenn x>, — 1, x>z ^ ^ ^ l und - 2 ' - - Positive