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Allgemeine Arithmetik.

ganze Zahlen sind, so bilven die Größen Iz, 1z, - - , ^^ . stei-

gende Reihen, und zwei folgende Näherungsbrüche können nicht denQuotienten ganzer Zahlen a und S einschließen, von denen ö zwischenden Nennern der beiden Näherungsbrüche liegt. Wäre

< . < —'

1j ^ a 1, ^ . 1 ^ «t^i— öl,

->1-d. h. > ---'

g. , ttj r st, st,, s

so wäre

S > («st, —

weil «st, — öl, ganz und von 0 verschieden ist.

Beispiel. Um einen Quotienten ganzer Zahlen durch Quotien-ten kleinerer ganzer Zahlen mit größter Annäherung auszudrücken, ver-wandelt man ihn nach (1) in einen Kettenbruch und berechnet die Nä-herungsbrüche, Man findet

5829

7834

-si

I ^ 6

mit den irreductiblen Näherungsbrüchen

1 2 3 29 32 125 157 282 18491 ' 3 ' 4 ' 39 ' 43 ' 168 ' 211 ' 379 ' 2485'

1 3 32

Die Brüche ^ ^ ^ - bilden eine bis zu dem gegebenen

2 29

Bruch fallende Reihe, die Brüche ^ ^ - eine ebendahin steigende

125

Reihe. Der gegebene Bruch wird durch den Bruch mit dem Feh-

ler

168 . 211

<

1682

ausgedrückt, und genauer als durch irgend

ei-

nen Bruch, dessen Nenner 211 nicht erreicht und dessen Zähler eineganze Zahl ist.

8 . Wenn x,, ?s, - - Positive ganze Zahlen sind, so hat der

unendliche Kettenbruch

_^ ^_- ps—

?1 -si 1 st" 1 ?z -si 1den Werth 1 *). Denn man hat (3)

9 Vergl, Legender Ltsom. Uote 4.