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Allgemeine Arithmetik.

^2 < 1Si Si^i

< 1

Si Si^2

u. s. w. Also sind

^, - - echte Brüche.r>!

Gesetzt nun, r>,,, und n, wären ganze Zahlen, so bildeten die gan-zen Zahlen Vj i, n.,v^,, . . eine fallende Reihe mit der Grenze 0, ge-gen die Voraussetzung, daß kein Rest des gegebenen Kettenbruchs ver-schwindet. Demnach kann der Kettenbruch einen rationalen Werth nichthaben.

§. 31. Die Exponentialreihe.

1. Unter einer unendlichen Reihe*) wird ein Polhnomiumvon unendlich viel Gliedern verstanden. Wenn man mit dem erstenGliede immer mehr folgende Glieder einer unendlichen Reihe vereinigt,und dabei Werthe erhält, welche mit einem bestimmten endlichen Werthmehr und mehr zusammenfallen, so heißt die unendliche Reihe konver-gent. Die einfachsten Beispiele convergenter Reihen sind der unend-liche Decimalbruch und die unendliche fallende geometrische Progres-sion.

Wenn real und ein echter Bruch ist, so convergirt dieunendliche Reihe 1 st- -e -s- äst st- - - gegen den Werth ^

(8.12 und 22).

Wenn die Glieder der unendlichen Reihe «o st- st- « 2 ^ st- - -positiv real sind und von einem bestimmten Glied an eine fal-

lende geometrische Progression bilden, deren Verhältniß ? < 1 ist, oderdie Glieder dieser Progression nicht erreichen, so ist

st- st" ' ^ Vstl st- ? st- 4^ st- st

") Lsriss inünitn nach Newton, welcher zuerst unendliche Reihen zur Darstel-lung von Größen in umfassender Weise angewendet hat.