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ß. 30. Die Kettenbrüche.

— ^i(?i 1) ^ ^ o,

^i^-i " ^ (^i — ^i-i) ?i -

Nun ist 1g 1.2 (^2 ^l)^2 pl?2' ' ' ' ^o ^j

. . x, d. h. 1g, ^g, . - , iltz, s-z, . . sind steigende Reihen positiverganzer Zahlen. Ferner hat man

^ ^ ^ -i- 1) — (^i.i —

Nnn ist 1, — 1, s <2 I 2 ^ l, stg 1g — P 2 l —?->

1- 1

1, u. s. w. Folglich 1 — - und

1,

liw — — 1, r — «>.

». Wenn ? 2 , - - , S 2 , - - Positive ganze Zahlen sind und

von einer bestimmten Numer an ^ x,-s- 1, -s- 1,.. ,

so hat der aus unendlich viel positiven oder negativen Gliedern

v. v.)

— , — gebildete Kettenbruch einen irrationalen Werth un-?2

ter 1.

Beweis. Man bilde für den gegebenen Kettenbruch Reste vonder Form

^ ^ 4, ^^2 4.

^-1 ^

Dann hat man

-l-

^ ^

Also sind, wenn z. B. v,., und ^ ganze Zahlen sind, alle» ganze Zah-len, und der Kettenbruch hat einen rationalen Werth.

Nach der Voraussetzung ist aber

^ 1 ^ -s- ^

?- < Si - 1 < Si ^ 77^

folglich

Daltzer. I. 2. Aufl.

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