ß. 31. Die Exponentialreihe.

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weil (ß. 23)

1 ..(L—2) 1.2

1..(L—1) 1

1 . . L

Also convergirt die gegebene unendliche Reihe auch bei complexen endli-chen Werthen von

L. Von besonderer Wichtigkeit ist der Werth, welchen die konver-gente unendliche Reihe

1_i-1-1--r

^ 1 ^ 1.2 ^ 1 . 2.3 ^

für 2 — 1 annimmt, nämlich

2,71828..(8. 19, 3).

1 ^

1.2.3

Man findet denselben aus den ersten L Gliedern der Reihe mit einemFehler, welcher den (b — 1)ten Theil des Iten Gliedes nicht erreicht(3). Dieser Werth ist irrational*) und wird nach Euler (Introck.I 8- 122) durch « bezeichnet.

Wäre e der Quotient der ganzen Zahlen 7- und «, so fände mandurch Multiplication der unendlichen Reihe mit 1.2...« eine Summevon ganzen Zahlen nebst den gebrochenen Gliedern

« ^fil ^ («-^1)(«-fi2) ^ («^1)(«Z-2)(«'-fi3) ^ ' '

welche weniger betragen als

(« -i- 1)

1

S

Nun ist (/-:«). 1 . 2 ... « eine ganze Zahl, also drückt 7- : « denWerth e der unendlichen Reihe nicht vollkommen aus.

3. Die unendliche Reihe

1.2.3

hat bei realen Werthen von w den Werth e* und wird die Exponen-tialreihe genannt, weil sie aus den steigenden Potenzen des Expo-

') Daß e und (s. unten 8), sowie bei rationalen Werthen von a: irratio-nal ist, hat Lambert 1761 zuerst bewiesen (Beiträge II, I p. 159. Vergl. Legen-dre (tsoin. Hots 4). Der hier gegebene einfache Beweis für die Irrationalität von« ist von Fourier geführt und von Stainville (Nslnnssss ä'anal. 1815 x. 339)mitgetheilt worden.