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Allgemeine Arithmetik.

nenten gebildet ist*). Bei imaginären und komplexen Werthen von wdient die Reihe zur Erklärung der Potenz s*. Für Potenzen mit ima-ginären und komplexen Exponenten gelten dieselben Rechnungsregeln,als für Potenzen mit realen Exponenten.

Beweis. Bezeichnet man den Werth der unendlichen Reihe durchso hat man bei beliebigen endlichen Werthen von w und z, (3)/(-,) — /(w -s- z/),

folglich

und für positive ganze m und n.

/(»-), --- /

/!

Ferner hat man /<»/( —w) ----- M) ------ 1, also

/(-c)

1 : /(m)

--- 1 :

- Ä?

N

Daher ist für reale Werthe von sie mögen positiv oder negativ, ganzoder gebrochen oder irrational (durch Brüche begrenzbar) sein,

In dem Falle, daß z, imaginär oder komplex ist, wird s/(m)r durchdie Reihe /!>-/) erklärt. Nun ist /(I) — s (4), folglich

e----^/(m), sr -------/(z,)

---- >sw)/(z,) ^ /(m -s- r,) -----

(e^)r — /(wz,) ------ — (sr)^

wie bei Potenzen mit realen Exponenten (K. 17 und 18).

') Diese Reihe ist zur Berechnung des Numerus aus seinem natürlichen Loga-rithmus von Newton ausgestellt worden (Oldenburg an Leibniz 1676 Jul. 26).Potenzen in ihrer Abhängigkeit von dem Exponenten wurden von Joh. Bernonlli1697 unter dem ihm von Leibniz vorgeschlagenen Namen „Exponential-Größen^in Betracht gezogen (Oxx. I x. 179). Imaginäre Exponenten scheint E ul er zuerstgebraucht zu haben (Introä. I H. 138. Brief an Goldbach 1741 Dec. 9), obschonJoh. Bernonlli seit 1702 den Zusammenhang logarithmischer und cyclometrischerDifferentialformeln durch Benutzung der imaginären Zahlen aufgeklärt hatte (Oxx.I, no 70 und 89). Die Exponentialreihe wurde bisher aus der Binomialreihe abge-leitet (Euler Introä. I ß. 115. Bergt. dlov. 6omm. kstrop. 19 p. 103 und dietz. 23 citirten Abhandlungen. Lauchy LmnI. nix. o. 6 und 9). Die umgekehrteAnordnung, welche sich durch Einfachheit empfiehlt und umfassende Betrachtung ge-stattet, hat man Scheibner zu verdanken.