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Allgemeine Arithmetik.

Theil und als der durch - dividirte imaginäre Theil der complexenGröße erklärt*), nämlich

1 —

1 . 2

37^

1 . 2 ^

-i-

1.2 . 3 . 4

37 ^

1 . 2 . 3 . 4^5

Man erkennt unmittelbar, daß

oosO — 1, ooo(— 37) — eos rv

8inO — 0, 8111 (— 37) — — sinn:.

I. Aus 608 37 -I- 1811137 — und 608 37 — 1811137 — e^ix folgt

6'x -f- . «ix - e—ix

608 37 — ---, 8IN37 —---

^ 2r

(00837)ii -j- (811137)^ — 1.

Diese Ausdrücke führen zu einfachen Entwickelungen von

(2 008 37)1", (2r 811137)1"

8111M37 81112/1137 608 (2m Z- 1)37

81037 ' 608 37 ' 608 37

in dem Falle, daß m eine positive ganze reale Zahl ist.

II. Aus 6 i(d) -- «ix^

608(37-s-^) -s- i8iii(37Z-z,) ^ (608 37 -f- 1 8IN37)(608Z, -f- 1 8I0Z,)

und durch Vergleichung dieser Complexen

608 (37 -s- ^) — 60837 8111 z, 8IU 37 8111z,

8IN (37 -s- z,) — 8III37 608^ -s- 60837 8111z,.

Aehnliche Relationen für 608 ( 37 -j-z,-j-L-s- - -) und 8111 (37-j-z,-)ergeben sich aus ^ six^gk , , ,

III. Aus («ix)? ^ gix^ — (S^)x ^lgt

(oo837 -j- r8iii-r)r — 60837^ -s- r 811137z, — (co8z, -s- rHiiz,)^

(608 37 -i- 1810 37)1' -I- (608 3! 1 810 37)1'

608 37z, — -7-!—-1-

(608 37 Z- 1810 37)1' - (o08 3! - 1811137)1'

81 - 137 Z, - - 2 i-

Die erste dieser Gleichungen, welche die Potenzirung der Complexen oos.? -s--sini7 lehrt, ist unter dem Namen „Moivre'scher Satz" bekannt, obwohl sie in die-ser Form erst bei Euter a. a. O. vorkommt. Moivre hat die Werthe von oosiIund 8in 27A gegeben NwoeU. nnnl. 1730 p. I. Die Entwickelung von 008M17 undsin bei positiven ganzen Werthen von m nach den Potenzen von eou.i oder von

*) Veral. Missery Ibsoris ä«8 ouanb. imas. 1801. Lacroix üooivl.ä'-rlA. blotis 6.