H. 31. Die Exponentialreihe.

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8 . Bezeichnet man durch w das Verhältniß eines Kreisbogens zuseinem Radius (des zugehörigen Centriwinkels zu dem Titen Theil von180"), und durch §(->-) die complexe Zahl oosn -s- r siu-r, und setztman in derselben Bedeutung §(-/) — oos^ -s- isiuz/, so ist aus go-niometrischen Gründen (Trigonom. ß. 4)

A(w) F(r/) — 008W 008Z, — siiiL 8IUZ, -s- r(8ilLwoo8z, 008w8iuz,)---- 008(L-I-Z,) -s- isin(w-s-z,) — A(w-s-F).

Unter der Voraussetzung, daß §<» durch Potenzen von w darstellbarist, kann man zufolge der bewiesenen Eigenschaft

008W -s- r'8inw — 1 -s- ^ 4-

1 . 2 ^ 1 ) 2.3 ^ ^

setzen (2), wenn man der Unbestimmten a einen geeigneten Werth giebt.Nun ist

, K-N ,

»^172^ ^

008 m — 1 , . 8IU w

- -p- r-

w w

oo8 cc—1 ^ 8inw

liiu - — 0, Iim -

1, w

folglich bleibt r — P^—1 übrig. Also hat manoo8-r -s- rHuL —

und durch Vergleichung dieser complexen Formeln (§. 16, 7)

008 w — 1 -

2!

8IUN — —

1

1 . 21^273

-i-

4 -

1.2.3.4

.5

1 .2.3.4.5

zur directen Berechnung des Cosinus und Sinus eines Kreisbogens oderWinkels*).

7. Unabhängig von geometrischen Gründen wird der Cosinus undder Sinus einer (realen, imaginären, complexen) Zahl w als der reale

*) Diese.beiden Reihen verdankt man Newton. Brief Oldenburg'« an Leibniz187S Apr. 12. Euler hat dieselben aus den Werthen von ev8^ und 8inaA ( 7 sentwickelt und die Gleichung oos^ -s- r'sins — «ix aus derselben Quelle abgeleitet.Introä. I ß. l32ff.