§. 31. Die Exponentialreihe.

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der komplexen Zahl x -st Die conjugirte complexe Zahl ? —hat denselben Modul und die entgegengesetzt gleiche Amplitude. RealeZahlen haben die Amplitude 0 , ihre Moduln sind von ihren (absoluten)Zahlwerthen nicht verschieden. Die Norm einer komplexen Zahl ist dasQuadrat ihres Moduls, r-2 — ^2 ^2 Der Modul des Products

oder des Quotienten von zwei Zahlen ist das Produkt oder der Quo-tient der Moduln der beiden Zahlen.

Wenn ? und ? die rechtwinkeligen Coordinaten des Punctes sind, welchen dieZahl -s- -- auf der Zahlen-Ebene einnimmt, so sind >- und die polaren Coordi-naten (Vector und Anomalie) desselben Punctes. Der Modul -- giebt den Abstanddes Punctes voni Nullpuncte an, die Amplitude 7 - bestimmt die Richtung der genann-ten Strecke.

Lv. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen komplexer Zahlen werden ameinfachsten mit Hülfe der angezeigten Transformation ( 9 ) von ? -st -7in gebildet. Wenn m eine positive ganze reale Zahl bedeutet, sohat man

(p -st -st r'siumgst

V? st- ch —

^ Pst2kTr

^ m

7 " 6

.1/ P-s-2K.Tr008 —- —

-st r sill

<fc-2ii7rX

log (^ -st r?) — logn -st r(kp -s- 2/bir) für die Basis e.r

Hierbei ist --- positiv real, logn eindeutig real, und L eine beliebigeganze reale Zahl. Wenn man aber L um m vermehrt oder vermindert,so bleibt die zweite Formel unverändert (8); man findet also nicht mehrals »r verschiedene Werthe derselben. Demnach istsx-stch)^ eindeutig,

x -st ch ist mdeutig, log st- -st ch) ist unendlichdeutig.

Aus derselben Quelle schöpft man insbesondere die Wurzeln unddie Logarithmen der verschiedenen Einheiten:

zstr -- e ---- V08(1 -st 4L)^ -st r sill(1 -st 41:)-^

m !(1^-2K)— —

-/—I -^6 " eosll -st 2L)- -st isilld -st 2^

r ----- st^^ 2 m — eos(3 st- 4L')^ -st rsin(3 -st 4L)^

-L— 2-r .... 27--

-st 1 — 6 M — 608 -st r8IIl K--

wo für L die Werthe 0, 1, 2, . . , m — 1 zu nehmen sind. Für die