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Allgemeine Arithmetik.

Basis « findet man

loxr — fil 41') ^ Iox(— 1) — fit 21)^

IoA (— r) — r(3 -j- 41) ^ IvA 1 — r - 2L?r

wo für 1 jede ganze reale Zahl zu nehmen ist. Bei 1 — 0 ergiebtsich der einzige nicht imaginäre Werth von lox 1, nämlich 0.

11. I. Wenn -e — 7-s^ und der Modul -- -< 1, so convergirenmit der unendlichen Reihe (1)

1 -j- ^ -j- »-2 -j- r-s -j- > -zugleich die unendlichen Reihen

l -s- ^eo8gs -j- »^oos 2gs -j- r'^eosAgo -j- . - ,

/»singo -s- ->2zw2P -p- -j- ^ ,

weil Cosinus und Sinus realer Zahlen echte Brüche sind. Also con-vergirt auch die complexe Reihe

1 -j- /'(eos y- -j- r'sin go) -s- ^2(oos2gc> -j- rsill2<p) -j- ' -d. i. 1 -j- a: -s- -s- . - -

Ueberhaupt convergirt eine unendliche Reihe, so lange die aus denModuln der einzelnen Glieder gebildete Reihe convergirt*). Wenn

IV , i/S,

N ---6 ^ — 0^6 ^

und die Reihe der Moduln

So -i- -j- -i- - -

convergent ist, so convergiren auch die Reihen

SoCvsfio ^r-eossfii "fi ä>) 2y>) -j- - ,

Sgsin/Zo fi- S^8in(^ -s- w) -s- Sz ^^8iQ(fi2 -i- 2y>) -fi - -,also auch die aus denselben gebildete complexe Reihe«o -s- «1«: -s- »2«^ ^ -

II. Wenn die Coefficienten «i, " 2 - - - real sind und von ei-nem bestimmten Coefficienten an eine bis zu 0 fallende Reihe bilden,wenn -r den Modul 1 und eine von 0 verschiedene Amplitude y> hat,so convergirt die unendliche Reihe «o -fi -I- -i- - . **).

Beweis. Bezeichnet man die endliche Reihe «g -j-. . -j- a-"

durch L, so ist

(1— — «0 — («0 — »,)« — («i —« 2 )^ — - - —

*) Cauchy Lnnl. nl^. 0 . 9.

'*) Vergl. Abel Crelle's I. I x. 332. Scheibner über unendliche Reihen1860 x. 9.