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Allgemeine Arithmetik.

Setzt man dagegen -j- — 1);,- — -i, so erhält man nach

algebraischen Regeln

und annäherungsweise

II. >^1^ -- jm- 2 > s/l ^2 "

-n- 1 ^ ^ ,/L ^

wobei die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist.

3. Für ein beliebiges endliches ä istlim

1 ^ -

M — 20.

Denn bei einem hinreichend großen m hat man (2)

I ^

1 4-

- 4-

- -s- ^a-2 ^ ! 3

-i-

^ -r ^ 1.2 !. ^ ^ 1.2.3>, -r)^

1 2

Wenn nun -r unendlich wächst, so verschwinden ^ , ^,.., und manbehält

^1^1.2

1.2.3

-s, . . ^

die von Newton gefundene Reihe zur Berechnung des Numerus ausseinem natürlichen Logarithmus ä (tz. 31, 5).

8. Für die Basis e ist*)

Iox(1 -s- ^)-- lim ^ ^ m^O

Diese Reihe convergirt, wenn der Modul von st ein echter Bruch ist,und drückt alle Werthe des Logarithmus aus, wenn das Glied lo^ 1hinzugefügt wird (Z. 31, 10).

*) Die Reihe wurde zuerst von Nie. Mercator (livALiibliinoteelmm 16681 >r. 17) und Jac. Gregory (lüxervit. Avom. 1668) bekannt gemacht; sie war auchvon Newton gefunden worden (Bries an Leibniz 1676 Oct. 24). Die jetzt üblicheAbleitung der Reihe ist von Halley kbrkos. Dräns. 1695 und deutlicher von Eit-ler Introä. I tz. 119 vorgetragen worden.