ß. 32. Die Binomialreihe und die Logarithmenreihe.

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Eine stärkere Annäherung an den Werth von (1 -i- /-)* erhält man,indem man alle Glieder der Gleichung mit 1 -vH multiplicirt unddie Unbestimmte r> aus geeignete Weise bestimmt*). Es ist nämlich

1 4- ^ -s- (A--2 ^ ^ . .

(1 ^(1 -s- -

-s- -s-

-s- TU ^ 0, folglich r, ^, so erhält

Setzt man -s- an — 0, folglich n --- — —

man

-r -I- 1

a -s- 1/a

(1 ch- ^ 1

und annäherungsweise für kleine Werthe von /-

1 -s- Z-

mit dem Fehler

— (-r 1) -r (n — 1)^^ -s- . -

1 - z(a- — 1)/-

Hiernach ist z. B- °/l -s- ä ----- ^ mit

mit dem Fehler

1 -h-

4. Eine bedeutende Annäherung an^i ^ ä, worin-l einen rea-len echten Bruch und «r eine positive ganze reale Zahl bedeutet, ist auffolgendem Wege möglich**). Man setze

/l -s- /r --- 1 -s- 1 -ch MU — 1)z/2 -s- ------ 1 -s-

Aus der ersten Annäherung H ergiebt sich die zweite

M?/ > — 1) /tU ----- il

und man findet annäherungsweise

I. V1 -s- L

»r -h z.(m

in Uebereinstimmung mit der in (3) gegebenen Formel.

*) Lambert Beiträge II, 1 p. 152.

Lagny Nstd. nonv. xour I'sxtrnotron . . knris 1692. Bergl. Halleykkilos. chrs-ns. >694 p. 136. Allgemeinere Untersuchungen über solche Annäherun-gen findet man bei Euler Hov. 6omm. kstrop. 18 p. 136.