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Allgemeine Arithmetik.

enthalten sind, hat man demnach (7)

,1 1 -st r tnuK m . , , ,. >

Hvßi ^ rtnnxm -st st(rtkruKw)^ -st ^ ^

folglich *)

m — tsuKM — HstnnKmst -st ^(tnnKm)^ — ...

An der Grenze tnuKw — 1 findet man für ^ die unendlicheReihe (Leibniz a. a. O.)

l — ^ -st s — 7 -st ' '

welche bei der gegebenen Anordnung der Glieder gegen f m eben nochconvergirt, weil ihr Werth zwischen A und 1 liegt.

Leichtere Berechnungen der Zahl -r sind von Newton a. a. O.angezeigt worden. Z. B. Aus geometrischen wie aus goniometrischenGründen hat man MuKstTr — folglich

z-r - V- - z/z' 4- u'z' - -

Oder man setzt sm aus mehreren stark convergirenden unendlichen Rei-hen zusammen. Wenn «-ist--- so ist

tnUK« st- twUKst ^

1—tnuK«tn»Kst '

und zu ts.UK« ergicbt sich t-rnKst, so daß

-- trrnK« — ^stnnK«)^ st- . - -st tnnKst — ^(tniiKst)^ -st - -

Passende Werthe enthält die folgende Tabelle**)

4^

tnUK «

tNUK st

ch

§

z

z

2«

-st

§

3

4«

—

§

5«

st'

2st

IV. Bei complexen Werthen von L -- ««'", deren Modul « einechter Bruch ist, wird die Logarithmenreihe und die Biuomialreihe kraus-formirt***), indem man

1 — ««'" —

st Jac. Gregors». Vergl. den Brief Oldenburg'« an Leibniz 1675 April 12.Auch Leibniz (Brief an Oldenburg 1676 Aug. 27) und 2,ewton (Bries an Leib-niz 1676 Oct. 24) waren im Besitz dieser Reihe.

**) Vergl. Klngel Math. W. I x. 657. Ganß Werke II p. 501.

**st Vergl. Canchv ^nnl. nlKedr. e. 9. Abel a. a. O. Scheibner in den

Vorlesungen.