8- 1. Die Proportionen.

(H-iS §. »I—33).

1. Das Verhältniß der Größe ^4 zu der gleichartigen Größe L,

bezeichnet .4 (Allg. Arithm. ß. 1«^, ist ^ l, je nachdem A ^ K.

Indem man -4 mit den Vielfachen von S oder mit den Vielfachen eineshinreichend kleinen Theiles von L vergleicht, findet man, wenn in, ?r

ganze Zahlen bedeuten, entweder A — /F, oder A — , oder die

Begrenzung

Ni-j- t

-r

Demnach wird das Verhältniß -4 : L entweder durch die ganze Zahl

/, oder durch den Bruch ^ genau ausgedrückt, oder durch die Brüche

und begrenzt mit einem Fehler, der ^ nicht erreicht, und

der hinreichend klein ist, wenn » groß genug ist. Wenn es bei derBe-grenzung bewenden muß, so ist das Verhältniß der Größen irrational(Allg. Arithm. ß. 16, 4) und die Größen heißen inkommensurabelwährend Größen von rationalem Verhältniß kommensurabel genanntwerden.

Wenn man zur Bestimmung des Verhältnisses von zwei Strecken die kleinereaus die größere so oft als möglich auftragt, den Rest so oft als möglich auf die klei-nere, den zweiten Rest so oft als möglich anf den ersten Rest, u. s. f., und wennman findet, daß kein Rest in dem vorhergehenden Reste aufgehen kann, so schließtman (Allg. Arithm. Z. 13, 3), daß die Strecken incommensurabel sind (Eucl. X, 2).Beispiele: stegendre döom. III profil. 19 (Vergl. Eucl. X. 117), Kunze Pla-nim. I. Aufl. 170. Bretschneid er in Grunert Archiv 3, p. 440.

2. Wenn jede Begrenzung des Verhältnisses von einem Paar Grö-ßen zugleich eine Begrenzung des Verhältnisses von einem andern PaarGrößen ist, so sind die Verhältnisse gleich*).

) Eucl. V. «lsk. 5.